Helmholtz方程在直角坐标系下的变量分离及高维Fourier展开 | 特殊函数（一） |偏微分方程（二十三）

将分离变量法推广到高维情况。在正交曲线坐标系下对数学物理方程分离变量，会出现某些变系数线性常微分方程，这些方程的解在数学物理中有广泛应用，是一些特殊函数。

1. 正交曲线坐标系下的变量分离

在求高维空间中发展方程的变量分离形状解时，通常先把时间变量分离出去，得到仅含空间变量的偏微分方程。如对于三维波动方程$u_{tt}=a^2{\Delta }_{3}u$或热传导方程$u_t=a^2{\Delta }_{3}u$，均可令$u=T(t)v(x,y,z)$，代入方程，两边同除以$Tv$，分别得
$$\frac{T^{\prime \prime }}{T}=a^2\frac{{\Delta }_{3}v}{v}或\frac{T^{\prime }}{T}=a^2\frac{{\Delta }_{3}v}{v}$$
分离得常微分方程
$$T^{\prime \prime }+a^2{k}^{2}T=0或T^{\prime }+a^2{k}^{2}T=0$$
和亥姆霍兹（Helmholtz）方程
$${\Delta }_{3}v+k^{2}v=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
Laplace方程
$${\Delta }_{3}v=0$$
可视作$Helmholtz$方程$k=0$的特殊特殊情形。进一步对v的分离变量则依赖于坐标系的选取。

2. Helmholtz方程在直角坐标系下的变量分离及高维Fourier展开

在空间矩形区域上求解时，应采用直角坐标系，此时Laplace算子有简单表示形式
$${\Delta }_3=\frac{{?}^2}{?x^2}+\frac{{?}^2}{?y^2}+\frac{{?}^2}{?z^2}$$
设$v(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$，代入Helmholtz方程（1），得
$$\frac{X^{\prime \prime }}{X}+\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}+\frac{Z^{\prime \prime }}{Z}+k^2=0$$
逐层剥离，得常微分方程
$$\begin{gathered} X^{\prime \prime }+\lambda X=0(2a) \\ {Y}^{\prime \prime }+\mu Y=0(2b) \\ {Z}^{\prime \prime }+vZ=0(2c) \end{gathered}$$
其中，参数有关系式
$$\lambda +\mu +v=k^2$$
它们配以相应的齐次边界条件，分别构成最简S-L型方程的固有值问题。求出相应的固有值、固有函数、可得高维Fourier展开形式的解。

例1：求长方体内稳恒温度分布
$$?\begin{array}{l}\frac{{?}^{2}u}{?x^2}+\frac{{?}^{2}u}{?y^2}+\frac{{?}^{2}u}{?z^2}=0,0<x<a,0<y<b,0<z<c(3a)\\ u{|}_{x=0}=\frac{?u}{?x}{|}_{x=a}=\frac{?u}{?y}{|}_{y=a}=u_{y=b}=0,(3b)\\ u{|}_{z=0}=0,u_{z=c}=\phi (x,y)(3c)\end{array}$$
**解：**设$u=X(x)Y(y)Z(z)$，分离得方程（2a）、（2b）、（2c），其中，$\lambda +\mu +v=0$。注意到x，y方向的边界条件为齐次，再分离齐次边界条件，得固有值问题
$$\{\begin{array}{l}{X}^{\prime \prime }+\lambda X=0,\\ X(0)=X^{\prime }(a)=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}{Y}^{\prime \prime }+\mu Y=0\\ Y^{\prime }(0)=Y(b)=0\end{array}$$

以及常微分方程
$$Z^{\prime \prime }?(\lambda +\mu )Z=0$$
以上两个固有值问题的解为
$$\begin{gathered} {\lambda }_n=[\frac{(2n+1)\pi }{2a}{]}^2,X_n(x)=sin\frac{(2n+1)\pi }{2a}x,n=0,1,2,? \\ {\mu }_m=[\frac{(2m+1)\pi }{2b}{]}^2,Y_m(y)=cos\frac{(2m+1)\pi }{2b}y,m=0,1,2,? \end{gathered}$$
相应的
$$Z_{nm}(z)=C_{nm}ch{w}_{nm}z+D_{nm}sh{w}_{nm}z,w_{nm}=\sqrt{{\lambda }_n+{\mu }_m}$$
由叠加原理知
$$u(x,y,z)=\sum _{n,m=0}^{+\infty }(C_{nm}ch{w}_{nm}z+D_{nm}sh{w}_{nm}z)sin\frac{(2n+1)\pi }{2a}xcos\frac{(2m+1)\pi }{2b}y$$
满足齐次方程（3a）和齐次边界条件（3b）式。再代入非齐次边界条件（3c）式，得
$$u{|}_{z=0}=\sum _{n,m=0}^{+\infty }{C}_{nm}sin\frac{(2n+1)\pi }{2a}xcos\frac{(2m+1)\pi }{2b}y=0$$

$$u{|}_{z=c}=\sum _{n,m=0}^{+\infty }(C_{nm}ch{w}_{nm}c+D_{nm}sh{w}_{nm}c)sin\frac{(2n+1)\pi }{2a}xcos\frac{(2m+1)\pi }{2b}y=\phi (x,y)$$

这两式可视作为0及$\phi (x,y)$关于二元正交系 { s i n ( 2 n + 1 ) π 2 a x c o s ( 2 m + 1 ) π 2 b y n , m = 0 , 1 , 2 ? } \{sin\frac{(2n+1)\pi}{2a}xcos\frac{(2m+1)\pi}{2b}y\,n,m=0,1,2 \cdots\} { sin2a(2n+1)π?xcos2b(2m+1)π?yn,m=0,1,2?}

的Fourier展开式。一般地，有

定理1：当 { X n ( x ) , n = 1 , 2 , ? } \{X_n(x),n=1,2,\cdots\} { Xn?(x),n=1,2,?}为区间$[0,a]$上带权$\rho (x)$的一元完备正交系，对每个固定的n， { Y n m ( y ) , m = 1 , 2 , ? } \{Y_{nm}(y),m=1,2,\cdots\} { Ynm?(y),m=1,2,?}是区间$[0,b]$上带权$\sigma (y)$的一元完备正交系，则二元函数系 { X n ( x ) Y n m ( y ) , n , m = 1 , 2 , ? } \{X_n(x)Y_{nm}(y),n,m=1,2,\cdots\} { Xn?(x)Ynm?(y),n,m=1,2,?}是矩形$[0,a]\times [0,b]$加权$\rho (x)?\sigma (y)$的完备正交函数系，即 ? f ( x , y ) ∈ L ρ σ 2 [ [ 0 , a ] × [ 0 , b ] ] = { f ( x , y ) ∣ ∫ 0 b ∫ 0 a ∣ f ( x , y ) ∣ 2 ρ ( x ) σ ( x ) d x d y < + ∞ } \forall f(x,y)\in L^2_{\rho \sigma}[[0,a]\times[0,b]]=\{f(x,y)|\int_0^b\int_0^a|f(x,y)|^2\rho(x)\sigma(x)dxdy<+\infty\} ?f(x,y)∈Lρσ2?[[0,a]×[0,b]]={ f(x,y)∣∫0b?∫0a?∣f(x,y)∣2ρ(x)σ(x)dxdy<+∞}，有
$$f(x,y)=\sum _{n,m=1}^{+\infty }{C}_{nm}{X}_n(x)Y_{nm}(y)$$
其中，系数
$$C_{nm}=\frac{{\int }_0^a{\int }_0^{b}f(x,y)X_n(x)Y_{nm}(y){\rho }_{(x)}{\sigma }_{(y)}dydx}{||X_n(x)|{|}^2||Y_{nm}(y)|{|}^2}$$
在本例中，可求得
$$\begin{gathered} C_{nm}=0 \\ {D}_{nm}=\frac{4}{absh{w}_{nm}c}{\int }_0^a{\int }_0^b\phi (x,y)sin\frac{(2n+1)\pi }{2a}xcos\frac{(2m+1)\pi }{2b}ydydx \end{gathered}$$