线性插值、抛物插值、Lagrange插值 | Lagrange拉格朗日插值法（一）

Lagrange（拉格朗日）插值法

Lagrange插值法是一种多项式插值方法。

1. 线性插值（两点插值或一次插值）

线性插值就是通过两个采样点$(x_0,y_0)$和$(x_1,y_1)$，作一直线$p_1(x)$来近似代替$f(x)$。根据插值条件（定义1），有
$$p_1(x_0)=y_0,p_1(x_1)=y_1$$
因此，可以写出直线$p_1(x)$的以下两种表达式：

（1）点斜式：$p_1(x)=y_0+\frac{y_1?y_0}{x_1?x_0}(x?x_0)$

（2）对称式：$p_1(x)=\frac{x?x_1}{x_0?x_1}{y}_0+\frac{x?x_0}{x_1?x_0}{y}_1$

在点斜式中，$\frac{y_1?y_0}{x_1?x_0}$即为差商，即当$x_1\to x_0$时，它就是$y_0^{\prime }$。将其代入点斜式方程中，可得到$p_1(x)$的极限形式：
$$p_1(x)=y_0+y_0^{\prime }(x?x_0)$$
这就是一阶Taylor（泰勒）多项式。在这里，$p_1(x)$由两项组成：一项是x的零次多项式，另一项为x的一次多项式。$p_1(x)$的这种组成形式就是后面将要介绍的Newton（牛顿）插值公式的形式。

在对称式中，若令
$$\frac{x?x_1}{x_0?x_1}=l_0(x),\frac{x?x_0}{x_1?x_0}=l_1(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$
则有
$$p_1(x)=l_0(x)?y_0+l_1(x)?y_1\text{\hspace{1em}(2)}$$
（1）和（2）式就是线性插值公式。其中，$l_0(x)$和$l_1(x)$是关于x的线性多项式，称之为插值基函数。它们在节点$x_0$和$x_1$处分别满足：
$$\begin{gathered} l_0(x_0)=1,l_0(x_1)=0 \\ {l}_1(x_0)=0,l_1(x_1)=1 \end{gathered}$$
于是，可得出重要结论：满足插值条件$p_1(x_0)=y_0,p_1(x_1)=y_1$的一次插值多项式$p_1(x)$，可用两个插值基函数$l_0(x)$和$l_1(x)$进行线性组合构造。即
$$p_1(x)=l_0(x)?y_0+l_1(x)?y_1$$

2. 抛物插值（三点插值或二次插值）

抛物插值就是通过3个采样点$(x_0,y_0),(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$构造一个二次多项式$p_2(x)$来近似代替$f(x)$。根据插值条件（定义1），有：
$$p_2(x)=y,(i=0,1,2)$$
因此，根据插值条件，用待定系数法可以确定出二次多项式$p_2(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$的各个系数。这里为避免解方程组，使用基函数线性组合的构造方法来求二次多项式$p_2(x)$。由线性插值的结论推广可知。该二次多项式$p_2(x)$可用3个插值基函数$l_0(x),l_1(x)$和$l_2(x)$进行线性组合构造。即：
$$p_2(x)=l_0(x)?y_0+l_1(x)?y_1+l_2(x)?y_2\text{\hspace{1em}(3)}$$
3个插值基函数在插值节点$x_0,x_1$和$x_2$处应该分别满足：
$$\begin{gathered} l_0(x_0)=1l_0(x_1)=0l_0(x_2)=0 \\ {l}_1(x_0)=0l_1(x_1)=1l_1(x_2)=0 \\ {l}_2(x_0)=0l_2(x_1)=0l_2(x_2)=1 \end{gathered}$$
即只要确定出3个插值基函数即可。

根据$l_0(x_1)=l_0(x_2)=0$，可假设$l_0(x)=C(x?x_1)(x?x_2)$；将$l_0(x_0)=1$代入，得：
$$C(x_0?x_1)(x_0?x_2)=1$$
即
$$C=\frac{1}{(x_0?x_1)(x_0?x_2)}$$
所以
$$l_0(x)=\frac{(x?x_1)(x?x_2)}{(x_0?x_1)(x_0?x_2)}\text{\hspace{1em}(4)}$$
同理
$$l_1(x)=\frac{(x?x_0)(x?x_1)}{(x_2?x_0)(x_2?x_1)}\text{\hspace{1em}(5)}$$

$$l_2(x)=\frac{(x?x_0)(x?x_1)}{(x_2?x_0)(x_2?x_1)}\text{\hspace{1em}(6)}$$

这样，由（3）、（4）、（5）和（6）式就构成了抛物插值公式。即：
$$p_2(x)=\frac{(x?x_1)(x?x_2)}{(x_0?x_1)(x_0?x_2)}?y_0+\frac{(x?x_0)(x?x_1)}{(x_1?x_0)(x_1?x_2)}?y_1+\frac{(x?x_0)(x?x_1)}{(x_2?x_0)(x_2?x_1)}?y_2$$
所以，抛物插值公式由3个二次插值基函数线性组合而成。

3. Lagrange插值

Lagrange插值法就是通过多个采样点$(x_i,y_i)(i=0,1,2,?,n)$构造一个高次多项式$p(x)$来近似代替$f(x)$。关于插值节点数和多项式次数之间的关系，有如下定理：

定理1：在$n+1$个互异的插值节点$x_0,x_1,x_2,?,x_n$上，满足插值条件定义1式并且次数不高于n的代数多项式$p_n(x)=a_n{x}^n+a_{n?1}{x}^{n?1}+?+a_{1}x+a_0$存在且惟一。

证明：根据插值条件，有：
$$?\begin{array}{l}{p}_n(x_0)=a_0+a_1{x}_0+a_2{x}_0^2+?+a_n{x}_0^n=y_0\\ p_n(x_1)=a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_1^2+?+a_n{x}_1^n=y_1\\ ?\\ p_n(x_n)=a_0+a_1{x}_n+a_2{x}_n^2+?+a_n{x}_n^n=y_n\end{array}$$
该式是一个关于未知数$a_0,a_1,a_2,?,a_n$的线性方程组，其系数矩阵的行列式是Vandermonde（范德蒙）行列式：
$$V=\left|\begin{array}{ccccc}1& x_0& x_0^2& ?& x_0^n\\ 1& x_1& x_1^2& ?& x_1^n\\ ?& ?& ?& ?& ?\\ 1& x_n& x_n^2& ?& x_n^n\end{array}\right|=\prod _{n\ge i>j\ge 1}(x_i?x_j)$$
因为$x_i?=x_j(i?=j)$，所以$V?=0$。根据Gramer法则，该线性方程组有惟一解$a_0,a_1,a_2,?,a_n$，从而$p_n(x)$存在且惟一。

根据定理1，由n+1个采样点可以惟一第构造出一个次数不高于n的插值多项式$p_n(x)$。在构造该插值多项式时，同样采用基函数线性组合的构造方法。可认为该插值多项式$p_n(x)$由n+1个插值基函数线性组合而成，其组合系数就是对应插值节点上的函数值$y_i(i=0,1,2,?,n)$，即：
$$p_n(x)=l_0(x)y_0+l_1(x)y_1+?+l_k(x)y_k+?+l_n(x)y_n$$
或
$$p_n(x)=\sum _{i=0}^n{l}_i(x)y_i\text{\hspace{1em}(7)}$$
在插值节点$x_i$上，该多项式满足插值条件：
$$p_n(x_i)=y_i,(i=0,1,2,?,k,?,n)$$
因此，为了使插值条件成立，这n+1个插值基函数$l_i(x)(i=0,1,2,?,k,?,n)$在n+1个插值节点上必须分别满足：
$$l_i(x_k)=\{\begin{array}{ll}0,& k?=i\\ 1,& k=i\end{array}$$
因此，插值基函数$l_i(x)$有一个非零点$x_i$和n个零点$x_0,x_1,?,x_{i?1},x_{i+1},x_n$，即可设
$$l_i(x)=(x?x_0)(x?x_i)?(x?x_{i?1})?C?(x?x_{i+1})?(x?x_n)=C\prod _{k=0,k?=i}^n(x?x_k)$$
再由$l_i(x_i)=1$，即可确定它的常系数为$C=\frac{1}{{\prod }_{k=0,k?=i}(x_i?x_k)}$，最后得到插值基函数为：
$$l_i(x)=\frac{{\prod }_{k=0,k?=i}^n(x?x_k)}{{\prod }_{k=0,k?=i}^n(x_i?x_k)}=\prod _{k=0,k?=i}^n\frac{x?x_k}{x_i?x_k}(i=0,1,2,?,n)$$
这样就可得到n+1个插值基函数$l_i(x)(i=0,1,2,?,n)$，代入（7）式，就得到Lagrange插值公式：
$$p_n(x)=\sum _{i=0}^n{l}_i(x)?y_i=\sum _{i=0}^n(\prod _{k=0,k?=i}^n\frac{x?x_k}{x_i?x_k})?y_i\text{\hspace{1em}(8)}$$
Lagrange插值公式具有以下特点：

（1）对称性：$p_n(x)$与插值节点的排列顺序无关，只与$(x_i,y_i)(i=0,1,2,?,n)$有关。

（2）n=1为线性插值公式，n=2为抛物插值公式。

（3）当插值节点数变化时，基函数需要重新计算。