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Problem Description
Input
Output
Sample Input
1 2 3 4
Sample Output
0 4 26 92
Source
Manager
又是数学题，好吧，我承认刷ACdream数学题提高了不少。碰到这种题目，第一反应，毫无疑问，打暴力程序找规律。于是就有了最初始的暴力程序：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<fstream>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#define rep(i,n) for(i=1;i<=n;i++)
#define MM(a,t) memset(a,t,sizeof(a))
#define INF 1e9
typedef long long ll;
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n;
int a[1000][1000];
int cal(int x,int y){int i,j;int res=0;rep(i,n)rep(j,n)if(y!=j && abs(x-i)<abs(y-j)) res++;return res;
}
int main()
{int i,j;while(scanf("%d",&n)!=EOF){MM(a,0);int res=0;rep(i,n)rep(j,n){a[i][j]=cal(i,j);res+=a[i][j];}rep(i,n){rep(j,n) cout<<setw(4)<<a[i][j];cout<<'\n';}cout<<"Res= "<<res<<'\n';}return 0;
}以n=10为例的结果是这样的：
10
45 37 31 27 25 25 27 31 37 45
53 44 38 34 32 32 34 38 44 53
59 50 43 39 37 37 39 43 50 59
63 54 47 42 40 40 42 47 54 63
65 56 49 44 41 41 44 49 56 65
65 56 49 44 41 41 44 49 56 65
63 54 47 42 40 40 42 47 54 63
59 50 43 39 37 37 39 43 50 59
53 44 38 34 32 32 34 38 44 53
45 37 31 27 25 25 27 31 37 45
Res= 4380
这些数字乍看之下毫无规律可言，但可以发现它整体是中心对称的，再来仔细考虑下条件abs(x1 - x2) < abs(y1 - y2)，对于一个点来说，符合条件的点也是中心对称的，具体应该是当x2==x1时的那一条线和这个点的左上左下右上右下分布着符合条件的点，我们不妨把暴力程序改变一下，如：
if(y!=j && abs(x-i)<abs(y-j)) res++;if中加个条件为x==i就会有了美如画的一个结果：
10
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Res= 900
这个900在最终结果中是只占一个的，而且可以看出它=n*n*（n-1）
接着在改把x==i && y!=j改为 x>i && y>j
又会发现：
10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 1 3 5 7 9 11 13 15
0 0 1 3 6 9 12 15 18 21
0 0 1 3 6 10 14 18 22 26
0 0 1 3 6 10 15 20 25 30
0 0 1 3 6 10 15 21 27 33
0 0 1 3 6 10 15 21 28 35
0 0 1 3 6 10 15 21 28 36
0 0 1 3 6 10 15 21 28 36
Res= 870
可以发现870*4+900=4380 所以本题关键点在于求这个四分之一点的总和，看最后一行的总和是等差数列和的累加和，然后从倒数第三行看起每行比最后一行少个等差数列和的累加和，因为N有1e9之大，所以我们必须求出等差数列和的累加和的通项公式，以及等差数列和的累加和的累加和的通项公式。
a(n)=n(n+1)/2+a(n-1)这是递推公式，发挥你在高中学过的知识把a(n)的通项公式和S(n)的通项公式给求出来吧。
不过在解这个方程前你得先知道平方和公式：n(n+1)(2n+1)/6 立方和公式 n*n(n+1)(n+1)/4；
经过一系列复杂的计算可以得到两个美如画的公式：
等差数列和累加和 a(n)=n(n+1)(n+2)/6 S(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)/24 全部总的和的公式也可以得到为：
Res=4*((n-1)*a(n-2)-S(n-3))+(n-1)*n*n 最后结果是要mod 1e9+7的，但是mod的过程中是不能除的，不然就会丢失精确数据，但凡除的必须在原数据中把除法搞定，所以对于a(n)中的n,n+1,n+2来说，能除以2,3（6的约数）的就直接除了，S(n)类似。
总程序：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<fstream>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#define rep(i,n) for(i=1;i<=n;i++)
#define MM(a,t) memset(a,t,sizeof(a))
#define INF 1e9
typedef long long ll;
#define mdu 1000000007
using namespace std;
ll n;
ll funa(ll x){ll t[4]={x,x+1,x+2,1};ll chu[2]={2,3};int i=0,j=0;while(i<3 && j<1){if(t[i]%chu[j]==0) {t[i]/=chu[j];j++; }else i++;}i=0;while(i<3 && j<2){if(t[i]%chu[j]==0) {t[i]/=chu[j];j++; }else i++;}t[3]=t[0];for(i=1;i<3;i++) t[3]=(t[3]*t[i])%mdu;return t[3];
}
ll funs(ll x){ll t[5]={x,x+1,x+2,x+3,1};ll chu[4]={2,2,2,3};int i=0,j=0; while(i<4 && j<3){if(t[i]%chu[j]==0) {t[i]/=chu[j];j++; }else i++;}i=0;while(i<4 && j<4){if(t[i]%chu[j]==0) {t[i]/=chu[j];j++; }else i++;}t[4]=t[0];for(i=1;i<4;i++) t[4]=(t[4]*t[i])%mdu;return t[4];
}
int main()
{int i,j;ll res;while(scanf("%lld",&n)!=EOF){switch(n){case 1:cout<<0<<'\n'; continue;case 2:cout<<4<<'\n'; continue;case 3:cout<<26<<'\n'; continue;default:ll t1=funa(n-2);t1=(n-1)*t1%mdu;ll t2=funs(n-3);if(t1>t2) t1-=t2;else t1=t1+mdu-t2;t1=4*t1%mdu;t1=(t1+(n*n%mdu)*(n-1)%mdu)%mdu; res=t1;} cout<<res<<'\n';}return 0;
}