P1 第一章 集合论
- 一组不重复的对象构成集合（set），每对象称为元素（element）。集合中的元素是无序的，打乱某集合的元素顺序，并不能构成新集合。
{1，2，3，2，4} = {4，1，2，3} - N自然数集合，Z整数集合，Q有理数集合，R实数集合。
- 集合A中的元素个数成为集合的基数（base number），基数有限则称为有限集（finite set），否则称为无限集（infinite set）。
A={a,b,c},|A|=3; B={a,{b,c}},|B|=2 - 全集（universal set），记作 U 或 E，在不同的研究范围中，全集的概念是不同的，立体几何中，全集称为空间中的所有点。
- 外延性原理：两集合A、B有相同的元素，则称A、B相等，记作 A=B 。否则不等。
- 若A中含有B中所有元素，称为A包含B。同时，若两集合不等，称为真包含。
若A、B互相包含，可证明A、B相等。
元素属于集合，集合包含子集。 - 对于任意 n 元集合A，它的 m 元子集个数为 C n m C_n^m Cnm?个，所以不同子集个数为其累加和，共 2 n 2^n 2n个。
可以如此考虑：集合中每元素的状态是有或无，两种，而不同元素不同状态的所有可能构成集合为其子集，共 2 n 2^n 2n个。 - 任意集合 A 的所有不同子集构成的集合，称为A的幂集（power set），记作 P ( A ) = { x ∣ x ? A } P(A) = \left\{x| x \subseteq A \right\} P(A)={ x∣x?A}。幂集又称作集族或集合的集合。
- 补集：集合A以外的全集内的元素。差集：A - B ，相对于B，A的独有元素。对称差集：（A-B）并（B-A），两集合各自独有元素的集合。
- A∩（B∪C）= （A∩B）∪（A∩C）
- OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOH！
- 对于有限集合，比较其元素多少只需要比较对应的基数即可。而对于无限集合，由于不可数故无法进行比较，这时，判断两无限集合之间是否存在一种一一对应的关系。
- 若集合A、B之间存在一种一一对应的关系，称为A与B等势（equipotential）。
- 与自然数集合N等势的集合，称为可数集合（countable set），该集合的基数记为阿列夫零。
显然，正奇数集合可数。
而素数集合，可已将其按照从小到大的顺序排列，之后，可令0对应2，1对应3，建立一一对应关系。（这种证明方式太狗了吧。。）
有理数集合可数。
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOHHHHHHHHHHHHHHH!!
所以要抓住重点：可数。 - 吊诡的事情在上一条已经发生：正奇数集合是自然数集合的子集，但却与之等势，可以建立一一对应关系。
仔细思考一下，可以发现迷惑点：这里的等势并不是相等，数字的相等强调的是数目的大小一样，在集合论中则是元素完全一致。而等势，强调的是元素可以一一对应。诚然，相等则必定等势，但等势不一定相等。 - 有限集合中集合与其真子集不可能等势，但无限集合确实可能的。
- 开区间（0，1）称为不可数集合，凡与开区间（0，1）等势的集合，称为不可数集合，该类集合的基数记为阿列夫。
P6 第二章 数理逻辑
-
具有确切真值的陈述句称为命题，该命题可以取一个“值”，称为真值。真值只有”真”、”假”两种。
一切没有判断内容的句子，或者二义性的陈述句都不能作为命题。（eg,这个语句是假的。）
句子本身是否有真假，与我们能否判断它的真假是两回事。
-
简单命题：不能再分解为更为简单的命题。复合命题：可以分解为更为简单命题的命题。
-
复合联结词：否定（非逻辑，补集），合取（与逻辑，交集）（转折关系仍表示与逻辑），析取（或逻辑，并集）（同或=可兼或，可与）（异或=不可兼或，不可与），蕴涵（如果P则Q，Q为P的必要条件，P为Q的充分条件，P真Q必真，P假Q未必）（善意推定：当前件为假时，不管后件真假如何，认定命题为真。疑罪从无），等价（当且仅当，充要）