[bzoj1855][DP]股票交易

Description

最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。
通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来T天内某只股票的走势，第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个i，都有APi>=BPi），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖出BSi股。
另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP。
在第1天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，T天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

Input

输入数据第一行包括3个整数，分别是T，MaxP，W。
接下来T行，第i行代表第i-1天的股票走势，每行4个整数，分别表示APi，BPi，ASi，BSi。

Output

输出数据为一行，包括1个数字，表示lxhgww能赚到的最多的钱数。

Sample Input

5 2 0

2 1 1 1

2 1 1 1

3 2 1 1

4 3 1 1

5 4 1 1

Sample Output

3

HINT

对于30%的数据，0 < =W 对于50%的数据，0 < =W 对于100%的数据，0 < =W 对于所有的数据，1 < =BPi <
=APi < =1000,1 < =ASi,BSi < =MaxP

题解

$n^4$的dp很显然，设$f[i][j]$表示第i天拥有j的股票的最大收益，对于p有$p=[0,max(0,i-W-1)]$，有转移方程

$$f[i][j]=f[i-1][j]$$
$$f[i][j]=\sum_{j-ASi<=k<j} max(f[p][k]-(j-k)*APi)$$
$$f[i][j]=\sum_{j<k<=j+BSi} max(f[p][k]+(k-j)*BPi)$$
考虑如何优化，此处仅考虑对于购买式，卖出式同样
即为 $=max(f[p][k]+k*APi)-j*APi$
由于 $f[p][k]$在 $p$单调递增的情况下单调不减
发现对于任意k都可以容易维护一个最大值 $f[p][k]+k*APi$
复杂度降为 $n*maxP^2$
又发现对于任意j，j-ASi单调递增
故可以单调队列优化
再次降为 $n*maxP$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
struct node{
   int APi,BPi,ASi,BSi;}a[2005];
int T,mxP,W;
int li[2005],g[2005];
int mx[2005],f[2005][2005];
bool vis[2005][2005];
/* f[p][k] max(l1) max(l2) */
int h,t;
int main()
{scanf("%d%d%d",&T,&mxP,&W);for(int i=1;i<=T;i++)scanf("%d%d%d%d",&a[i].APi,&a[i].BPi,&a[i].ASi,&a[i].BSi);int p;memset(f,-63,sizeof(f));memset(vis,false,sizeof(vis));f[0][0]=0;vis[0][0]=true;for(int i=1;i<=T;i++){for(int j=0;j<=mxP;j++)if(vis[i-1][j])f[i][j]=f[i-1][j],vis[i][j]=true;p=max(0,i-W-1);h=t=1;li[1]=0;for(int j=0;j<=mxP;j++){while(h<t && j-a[i].ASi>li[h])h++;if(h<=t && j-a[i].ASi<=li[h])f[i][j]=max(f[i][j],f[p][li[h]]-(j-li[h])*a[i].APi),vis[i][j]=true;if(vis[p][j]){while(h<=t && f[p][j]+j*a[i].APi>f[p][li[t]]+li[t]*a[i].APi)t--;li[++t]=j;}}h=t=1;li[1]=mxP;for(int j=mxP;j>=0;j--){while(h<t && li[h]>j+a[i].BSi)h++;if(h<=t && j+a[i].BSi>=li[h])f[i][j]=max(f[i][j],f[p][li[h]]+(li[h]-j)*a[i].BPi),vis[i][j]=true;if(vis[p][j]){while(h<=t && f[p][j]+j*a[i].BPi>f[p][li[t]]+li[t]*a[i].BPi)t--;li[++t]=j;}}}int ans=0;for(int i=0;i<=mxP;i++)ans=max(ans,f[T][i]);printf("%d\n",ans);return 0;
}