经典力学（动力学）——动量守恒定律与能量守恒定律

质点和质点系的动量定理

力的累积效应$\{\begin{array}{l}\vec{F}(t)对t的累积\to \vec{I},\Delta \vec{p}\\ \vec{F}对\vec{r}累积\to W,\Delta E\end{array}?$$\{\begin{array}{l}动量、冲量、动量定理、动量守恒定律\\ 动能、功、动能定理、机械能守恒定律\end{array}$

冲量 质点的动量定理

冲量

动量（状态量）：$$\vec{p}=m\vec{v}$$$$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}?\vec{F}dt=d\vec{p}=d(m\vec{v})?{\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt={\vec{p}}_2?{\vec{p}}_1=m{\vec{v}}_2?m{\vec{v}}_1$$
冲量定义（过程量）：$\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt$

质点的动量定理

微分形式：$$\vec{F}dt=d\vec{p}=d(m\vec{v})$$
积分形式：$$\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt={\vec{p}}_2?{\vec{p}}_1=m{\vec{v}}_2?m{\vec{v}}_1$$

$动量定理$：在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。
以上两种形式也可用分量表示，某方向收到冲量，该方向的动量就增加。

质点系的动量定理

对两质点分别用质点动量定理：
$$\{\begin{array}{l}{\int }_{t_1}^{t_2}({\vec{F}}_1+{\vec{F}}_{12})dt=m_1{\vec{v}}_1?m_1{\vec{v}}_{10}\\ {\int }_{t_1}^{t_2}({\vec{F}}_2+{\vec{F}}_{21})dt=m_2{\vec{v}}_2?m_2{\vec{v}}_{20}\end{array}$$
因为内力和${\vec{F}}_{12}+{\vec{F}}_{21}=0$,所以两式相加后：
$${\int }_{t_1}^{t_2}({\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2)dt=(m_1{\vec{v}}_1+m_2{\vec{v}}_2)?(m_1{\vec{v}}_{10}+m_2{\vec{v}}_{20})$$
即：
$$\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}{\vec{F}}^{ex}dt=\sum _{i=1}^n{m}_i{\vec{v}}_i?\sum _{i=1}^n{m}_i{\vec{v}}_{i0}=\vec{p}?{\vec{p}}_0$$
$质点系动量定理：$作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。
注意：要区分内力和外力，内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量。

(1)$F$为恒力，$\vec{I}=\vec{F}\Delta t$

(2)$F$为变力，$\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt=\overline{\vec{F}}(t_2?t_1)$($平均冲力$)
动量定理经常应用于碰撞问题

在$\Delta \vec{p}一定时，\Delta t越小，\overline{\vec{F}}越大$

动量守恒定律 动能定律

动量守恒定律

质点系动量定理：
$$\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\sum _i{\vec{F}}_i^{ex}=\sum _i{\vec{p}}_i?\sum _i{\vec{p}}_{i0}$$若质点系所受合外力为0：
$${\vec{F}}^{ex}=\sum _i{\vec{F}}_i^{ex}=0$$则系统的$总动量$不变————$动量守恒定律$

动能定理

力的空间累积效应：
$做功：$物体在力$\vec{F}$作用下移动$\Delta \vec{r}?$做功W
做功分为恒力下做功和变力下做功：
恒力作用下的功：

$$W=Fcos\theta ?|\Delta \vec{t}|=\vec{F}?\Delta \vec{r}$$
变力作用下的功：

$$dW=\vec{F}?d\vec{r}=Fcos\theta ?|d\vec{r}|=Fcos\theta ?ds$$$$?W={\int }_A^B\vec{F}?d\vec{r}={\int }_A^{B}Fcos\theta ?ds$$
其中$\theta$为力与相对应位移的夹角。
(1)关于功的正负：$$?\begin{array}{l}{0}^o<\theta <90^o,dW>0\\ 90^o<\theta <180^o,dW<0\\ \theta =90^o,\vec{F}\perp \vec{r},dW=0\end{array}$$
(2)做功的直观图示：

$$W={\int }_{s_1}^{s_2}Fcos\theta ds$$
(3)功是一个过程量，与路径有关。
(4)合力的功，等于各分力的功的代数和。

质点的动能定理

$$W=\int \vec{F}?d\vec{r}=\int F_t?|d\vec{r}|=\int F_{t}ds=\int m\frac{dv}{dt}ds={\int }_{v_1}^{v_2}mvdv=\frac{1}{2}m{v}_2^2?\frac{1}{2}m{v}_1^2=E_{k2}?E_{k1}$$
合外力对质点所做的功，等于质点动能的增量——$质点动能定理$
$Tips:$功是$过程量$，动能是$状态量$
功和动能依赖于惯性系的选取，但对不同惯性系动能定理形式相同。