指数分布

1.指数分布定义

? 一个连续随机变量$X$称为具有参数为$\lambda (\lambda >0)$的指数分布，如果它的概率分布密度为$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{?\lambda x}& ,x\ge 0\\ 0& ,x<0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$或者，等价地说，它的cdf（累积分布函数）为$$F(x)={\int }_{?\infty }^{x}f(y)dy=\{\begin{array}{cc}1?e^{?\lambda x}& ,x\ge 0\\ 0& ,x<0\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
? 指数分布地均值$E[X]$为$$E[X]={\int }_{?\infty }^{\infty }xf(x)={\int }_0^{\infty }\lambda x{e}^{?\lambda x}dx\text{\hspace{1em}(3)}$$用分部积分（$u=x$，$dv=\lambda e^{?\lambda x}dx$）导出$$E[X]=?x{e}^{?\lambda x}{|}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }{e}^{?\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }\text{\hspace{1em}(4)}$$指数分布地矩母函数$?(t)$为$$?(t)=E[e^{tX}]={\int }_0^{\infty }{e}^{tx}\lambda e^{?\lambda x}dx=\frac{\lambda }{\lambda ?t},t<\lambda \text{\hspace{1em}(5)}$$现在可以通过如上方程求微商来得到$X$的一切矩。例如$$E[X^2]=\frac{d^2}{d{t}^2}?(t){|}_{t=0}=\frac{2\lambda }{(\lambda ?t{)}^3}{|}_{t=0}=\frac{2}{{\lambda }^2}\text{\hspace{1em}(6)}$$随之有$$Var(x)=E[X^2]?(E[X]{)}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}?\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}\text{\hspace{1em}(7)}$$

2.指数分布的性质

? 一个随机变量$X$称为无记忆的，如果对于一切$s,t\ge 0$有P{X>s+t∣X>t}=P{X>s}(8)\tag{8} P\{X>s+t|X>t\}=P\{X>s\} P{ X>s+t∣X>t}=P{ X>s}(8)如果将$X$想象为某个仪器的寿命，则上公式说明了，给定存活了$t$小时的仪器，至少存活$s+t$小时的条件概率等于它至少存活$s$小时的出事的概率。换句话说，如果仪器在时间$t$是存活的，那么它余留的存活时间的分布等于原来寿命的分布。即这个仪器并不记住它已经使用过的时间$t$。公式(8)的条件等价于P{X>s+t,X>t}P{X>t}=P{X>s}(9)\frac{P\{X>s+t,X>t\}}{P\{X>t\}}=P\{X>s\} \tag{9}P{ X>t}P{ X>s+t,X>t}?=P{ X>s}(9)或等价地P{X>s+t}=P{X>s}P{X>t}(10)P\{X>s+t\}=P\{X>s\}P\{X>t\} \tag{10}P{ X>s+t}=P{ X>s}P{ X>t}(10)由于当$X$是指数分布时公式（8）成立（$e^{?\lambda (s+t)}=e^{?\lambda s}{e}^{?\lambda t}$），由此推出指数分布地随机变量是无记忆的。