【习题·数据结构】[NOI2015]荷马史诗（多叉哈夫曼树）

Problem

追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 nn 种不同的单词，从 11 到 nn 进行编号。其中第 ii 种单词出现的总次数为 wiwi。Allison 想要用 kk 进制串 sisi 来替换第 ii 种单词，使得其满足如下要求:

对于任意的 1≤i,j≤n1≤i,j≤n，i≠ji≠j，都有：sisi 不是 sjsj 的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择 sisi，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 sisi 的最短长度是多少？

一个字符串被称为 kk 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 00 到 k?1k?1 之间（包括 00 和 k?1k?1）的整数。

字符串 Str1Str1 被称为字符串 Str2Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1…t]Str1=Str2[1…t]。其中，mm 是字符串 Str2Str2 的长度，Str2[1…t]Str2[1…t] 表示 Str2Str2 的前 tt 个字符组成的字符串。

Solution

这道题的编码方式是一个Huffman编码的构造方式，而其对应的结构就是Huffman数。

我们先从trie树的角度去理解这一个问题。

如图所示，这就是一颗$trie$树，按照$k$叉的方式进行编码正好吻合了$k$进制的要求；为了保证某个串不是另一个串的前缀，我们只需要保证某一个串的结尾是这一个树的叶节点即可。

然后就是计算答案的问题，我们发现长度 * 出现次数=到根节点的距离 * 这一个点的点权，这正好对应了一个$Huffman$问题，我们只要保证这一个乘积之和最小即可。然后我们再考虑如何用$Haffman$树来搞。

对于 k k