单源最短路径
给定一个图,和一个源顶点src,找到从src到其它所有所有顶点的最短路径，图中可能含有负权值的边。
Dijksra的算法是一个贪婪算法,时间复杂度是O(VLogV)(使用最小堆)。但是迪杰斯特拉算法在有负权值边的图中不适用,Bellman-Ford适合这样的图。在网络路由中，该算法会被用作距离向量路由算法。
Bellman-Ford也比迪杰斯特拉算法更简单和同时也适用于分布式系统。但Bellman-Ford的时间复杂度是O(VE),这要比迪杰斯特拉算法慢。（V为顶点的个数,E为边的个数）
算法描述
输入:图 和 源顶点src
输出:从src到所有顶点的最短距离。如果有负权回路(不是负权值的边),则不计算该最短距离，没有意义，因为可以穿越负权回路任意次，则最终为负无穷。
算法步骤
1.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 dist[v] ← +∞, dist[s] ←0;
2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dist[v]中。
关于该算法的证明也比较简单，采用反证法，具体参考：http://courses.csail.mit.edu/6.006/spring11/lectures/lec15.pdf
该算法是利用动态规划的思想。该算法以自底向上的方式计算最短路径。
它首先计算最多一条边时的最短路径(对于所有顶点)。然后,计算最多两条边时的最短路径。外层循环需要执行|V|-1次。
例子
一下面的有向图为例：给定源顶点是0，初始化源顶点距离所有的顶点都是是无穷大的,除了源顶点本身。因为有5个顶点，因此所有的边需要处理4次。
按照以下的顺序处理所有的边：(B,E), (D,B), (B,D), (A,B), (A,C), (D,C), (B,C), (E,D).
第一次迭代得到如下的结果(第一行为初始化情况,最后一行为最终结果)：
当 (B,E), (D,B), (B,D) 和 (A,B) 处理完后，得到的是第二行的结果。
当 (A,C) 处理完后，得到的是第三行的结果。
当 (D,C), (B,C) 和 (E,D) 处理完后，得到第四行的结果。
第一次迭代保证给所有最短路径最多只有1条边。当所有的边被第二次处理后，得到如下的结果(最后一行为最终结果)：
第二次迭代保证给所有最短路径最多只有2条边。我们还需要2次迭代(即所谓的松弛操作)，就可以得到最终结果。
代码
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* 日期：2015-04-22
* 作者：SJF0115
* 题目: Bellman-Ford算法(单源最短路径)
* 博客：
------------------------------------*/
#include <iostream>
using namespace std;//表示一条边
struct Edge{// 起点int src;// 终点int dest;// 权重int weight;
};
//带权值的有向图
struct Graph{// 顶点的数量int V;// 边的数量int E;// 用边的集合 表示一个图Edge* edge;
};
// 创建图
Graph* CreateGraph(int v,int e){Graph* graph = (Graph*)malloc(sizeof(Graph));graph->E = e;graph->V = v;graph->edge = (Edge*)malloc(e*sizeof(Edge));return graph;
}
// 打印结果
void Print(int dist[],int n){cout<<"单源最短路径:"<<endl;for(int i = 0;i < n;++i){if(dist[i] == INT_MAX){cout<<"与节点"<<i<<"距离->无穷大"<<endl;}//ifelse{cout<<"与节点"<<i<<"距离->"<<dist[i]<<endl;}}//for
}
// 单源最短路径
bool BellmanFord(Graph* graph,int src){int v = graph->V;int e = graph->E;// 存储距离int dist[v];// 初始化for(int i = 0;i < v;++i){dist[i] = INT_MAX;}//fordist[src] = 0;// v-1次操作Edge edge;int a,b,weight;for(int i = 1;i < v;++i){// 对e条边进行松弛for(int j = 0;j < e;++j){edge = graph->edge[j];a = edge.src;b = edge.dest;weight = edge.weight;if(dist[a] != INT_MAX && dist[a]+weight < dist[b]){dist[b] = dist[a]+weight;}//if}//for}//for// 检测负权回路bool isBack = false;for(int i = 0;i < e;++i){edge = graph->edge[i];a = edge.src;b = edge.dest;weight = edge.weight;if(dist[a] != INT_MAX && dist[a]+weight < dist[b]){isBack = true;break;}//if}//for// 打印结果Print(dist,v);return isBack;
}int main(){int v = 7;int e = 9;Graph* graph = CreateGraph(v,e);graph->edge[0].src = 0;graph->edge[0].dest = 1;graph->edge[0].weight = -1;graph->edge[1].src = 0;graph->edge[1].dest = 2;graph->edge[1].weight = 4;graph->edge[2].src = 1;graph->edge[2].dest = 2;graph->edge[2].weight = 3;graph->edge[3].src = 1;graph->edge[3].dest = 3;graph->edge[3].weight = 2;graph->edge[4].src = 1;graph->edge[4].dest = 4;graph->edge[4].weight = 2;graph->edge[5].src = 3;graph->edge[5].dest = 2;graph->edge[5].weight = 5;graph->edge[6].src = 3;graph->edge[6].dest = 1;graph->edge[6].weight = 1;graph->edge[7].src = 4;graph->edge[7].dest = 3;graph->edge[7].weight = -3;graph->edge[8].src = 5;graph->edge[8].dest = 6;graph->edge[8].weight = 2;bool result = BellmanFord(graph,0);if(result){cout<<"图中存在回路"<<endl;}//ifelse{cout<<"图中不存在回路"<<endl;}//elsereturn 0;
}
转载于：Bellman-Ford最短路径算法
本文原文地址： https://blog.csdn.net/SunnyYoona/article/details/45222073