机器学习（五）：AdaBoost

一，Adaboost算法

Adaboost是一种迭代算法，其核心思想是针对同一个训练集训练不同的分类器(弱分类器)，然后把这些弱分类器集合起来，
构成一个更强的最终分类器(强分类器)。其算法本身是通过改变数据分布来实现的，它根据每次训练集之中每个样本的分类 是否正确，以及上次的总体分类的准确率，来确定每个样本的权值。
修改过权值的新数据集送给下层分类器进行训练，最后将每次训练得到的分类器最后融合起来，作为最后的决策分类器。使用adaboost分类器可以排除一些不必要的训练数据特征，并放在关键的训练数据上面

下面是将决策树与这些算法框架进行结合所得到的新的算法：

• Bagging + 决策树 = 随机森林
• AdaBoost + 决策树 = 提升树
• Gradient Boosting + 决策树 = GBDT

二，数学表达

1.首先，初始化训练数据的权值分布。每一个训练样本最开始时都被赋予相同的权重：1/N。

接下来，如果某个样本点已经被准确地分类，那么在构造下一个训练集中，它被选中的概率就被降低；相反，如果某个样本点没有被准确地分类，那么它的权重就得到提高。具体说来，则是：

2.对于m = 1,2, …, M
a.使用具有权值分布Dm的训练数据集学习，得到基本二元分类器：

b.计算Gm(x)在训练数据集上的分类误差率

c. 计算Gm(x)的系数，am表示Gm(x)在最终分类器中的重要程度（决定了在最终强学习里面的话语权）：

由上述式子可知，em <= 1/2时，am >= 0，且am随着em的减小而增大，意味着分类误差率越小的基本分类器在最终分类器中的作用越大。
d. 更新训练数据集的权值分布

使得被基本分类器Gm(x)误分类样本的权值增大，而被正确分类样本的权值减小。就这样，通过这样的方式，AdaBoost方法能“聚焦于”那些较难分的样本上。
其中，Zm是规范化因子，使得Dm+1成为一个概率分布：

3.构建基本分类器的线性组合

从而得到最终分类器（强分类器），如下：

三，流程

1. 给定训练样本集S，其中X和Y分别对应于正例样本和负例样本; T为训练的最大循环次数;

2. 初始化样本权重为1/n ，即为训练样本的初始概率分布;

3. 第一次迭代:

   (1) 训练样本的概率分布相当下，训练弱分类器;

   (2) 计算弱分类器的错误率;

   (3) 选取合适阈值，使得误差最小;

   (4) 更新样本权重;

经T次循环后，得到T个弱分类器，按更新的权重叠加，最终得到的强分类器

四，实例

例1. 下面，给定下列训练样本，请用AdaBoost算法学习一个强分类器。

求解过程：初始化训练数据的权值分布，令每个权值W1i = 1/N = 0.1，其中，N = 10，i = 1,2, …, 10，然后分别对于m = 1,2,3, …等值进行迭代。

拿到这10个数据的训练样本后，根据 X 和 Y 的对应关系，要把这10个数据分为两类，一类是“1”，一类是“-1”，根据数据
的特点发现：“0 1 2”这3个数据对应的类是“1”，“3 4 5”这3个数据对应的类是“-1”，“6 7 8”这3个数据对应的类是“1”，9是比较孤独的，对应类“-1”。抛开孤独的9不讲，“0 1 2”、“3 4 5”、“6 7 8”这是3类不同的数据，分别对应的类是1、-1、1，直观上推测可知，可以找到对应的数据分界点，比如2.5、5.5、8.5 将那几类数据分成两类。当然，这只是主观臆测，下面实际计算下这个过程。

迭代过程1

对于m=1，在权值分布为D1（10个数据，每个数据的权值皆初始化为0.1）的训练数据上，经过计算可得：

阈值v取2.5时误差率为0.3（x < 2.5时取1，x > 2.5时取-1，则6 7 8分错，误差率为0.3），
阈值v取5.5时误差率最低为0.4（x < 5.5时取1，x > 5.5时取-1，则3 4 5 6 7 8皆分错，误差率0.6大于0.5，不可取。故令x > 5.5时取1，x < 5.5时取-1，则0 1 2 9分错，误差率为0.4），
阈值v取8.5时误差率为0.3（x < 8.5时取1，x > 8.5时取-1，则3 4 5分错，误差率为0.3）。
所以无论阈值v取2.5，还是8.5，总得分错3个样本，故可任取其中任意一个如2.5，弄成第一个基本分类器为：

上面说阈值v取2.5时则6 7 8分错，所以误差率为0.3，更加详细的解释是：因为样本集中

0 1 2 对应的类（Y）是1，因它们本身都小于2.5，所以被G1(x)分在了相应的类“1”中，分对了。
3 4 5 本身对应的类（Y）是-1，因它们本身都大于2.5，所以被G1(x)分在了相应的类“-1”中，分对了。
但 6 7 8 本身对应类（Y）是1，却因它们本身大于2.5而被G1(x)分在了类"-1"中，所以这3个样本被分错了。
9本身对应的类（Y）是-1，因它本身大于2.5，所以被G1(x)分在了相应的类“-1”中，分对了。
从而得到G1(x)在训练数据集上的误差率：（被G1(x)误分类样本“6 7 8”的权值之和）
e1=P(G1(xi)≠yi) = 3*0.1 = 0.3。

然后根据误差率e1计算G1的系数：

这个a1代表G1(x)在最终的分类函数中所占的权重，为0.4236。
接着更新训练数据的权值分布，用于下一轮迭代：

值得一提的是，由权值更新的公式可知，每个样本的新权值是变大还是变小，取决于它是被分错还是被分正确。

即如果某个样本被分错了，则yi * Gm(xi)为负，负负等正，结果使得整个式子变大（样本权值变大），否则变小。

第一轮迭代后，最后得到各个数据新的权值分布
D2 = (0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.1666, 0.1666, 0.1666, 0.0715)。由此可以看出，因为样本中是数据“6 7 8”被G1(x)分错了，所以它们的权值由之前的0.1增大到0.1666，反之，其它数据皆被分正确，所以它们的权值皆由之前的0.1减小到0.0715。

分类函数f1(x)= a1*G1(x) = 0.4236G1(x)。

此时，得到的第一个基本分类器sign(f1(x))在训练数据集上有3个误分类点（即6 7 8）。

从上述第一轮的整个迭代过程可以看出：被误分类样本的权值之和影响误差率，误差率影响基本分类器在最终分类器中所占的权重。

迭代过程2

对于m=2，在权值分布为D2 = (0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.1666, 0.1666, 0.1666, 0.0715)的训练数据上，经过计算可得：

阈值v取2.5时误差率为0.16663（x < 2.5时取1，x > 2.5时取-1，则6 7 8分错，误差率为0.16663），
阈值v取5.5时误差率最低为0.07154（x > 5.5时取1，x < 5.5时取-1，则0 1 2 9分错，误差率为0.07153 + 0.0715），
阈值v取8.5时误差率为0.07153（x < 8.5时取1，x > 8.5时取-1，则3 4 5分错，误差率为0.07153）。
所以，阈值v取8.5时误差率最低，故第二个基本分类器为：

面对的还是下述样本：

很明显，G2(x)把样本“3 4 5”分错了，根据D2可知它们的权值为0.0715, 0.0715, 0.0715，所以G2(x)在训练数据集上的误差率e2=P(G2(xi)≠yi) = 0.0715 * 3 = 0.2143。

计算G2的系数：

更新训练数据的权值分布：

D3 = (0.0455, 0.0455, 0.0455, 0.1667, 0.1667, 0.1667, 0.1060, 0.1060, 0.1060, 0.0455)。被分错的样本“3 4 5”的权值变大，其它被分对的样本的权值变小。
f2(x)=0.4236G1(x) + 0.6496G2(x)
此时，得到的第二个基本分类器sign(f2(x))在训练数据集上有3个误分类点（即3 4 5）。

迭代过程3

对于m=3，在权值分布为D3 = (0.0455, 0.0455, 0.0455, 0.1667, 0.1667, 0.1667, 0.1060, 0.1060, 0.1060, 0.0455)的训练数据上，经过计算可得：

阈值v取2.5时误差率为0.10603（x < 2.5时取1，x > 2.5时取-1，则6 7 8分错，误差率为0.10603）， 阈值v取5.5时误差率最低为0.04554（x > 5.5时取1，x < 5.5时取-1，则0 1 2 9分错，误差率为0.04553 + 0.0715）， 阈值v取8.5时误差率为0.16673（x < 8.5时取1，x > 8.5时取-1，则3 4 5分错，误差率为0.16673）。 所以阈值v取5.5时误差率最低，故第三个基本分类器为（下图画反了，待后续修正）：即修正为 x < 5.5 分为-1 类，x > 5.5分为1类

依然还是原样本：

此时，被误分类的样本是：0 1 2 9，这4个样本所对应的权值皆为0.0455，

所以G3(x)在训练数据集上的误差率e3= P(G3(xi)≠yi) = 0.0455*4 = 0.1820。

计算G3的系数：

更新训练数据的权值分布：

D4 = (0.125, 0.125, 0.125, 0.102, 0.102, 0.102, 0.065, 0.065, 0.065, 0.125)

。被分错的样本“0 1 2 9”的权值变大，其它被分对的样本的权值变小。

f3(x)=0.4236G1(x) + 0.6496G2(x)+0.7514G3(x)

此时，得到的第三个基本分类器sign(f3(x))在训练数据集上有0个误分类点。至此，整个训练过程结束。

G(x) = sign[f3(x)] = sign[ a1 * G1(x) + a2 * G2(x) + a3 * G3(x) ]

， 将上面计算得到的a1、a2、a3各值代入G(x)中，得到最终的分类器为：
G(x) = sign[f3(x)] = sign[ 0.4236G1(x) + 0.6496G2(x)+0.7514G3(x) ]。

五，adaboost的优缺点

AdaBoost的优缺点：

• 优点：泛化错误率低，易编码，可以应用在大部分分类器上，无参数调整。

• 缺点：对离群点敏感

• 其他：
  集成方法通过组合多个分类器的分类结果，获得了比简单的单分类器更好的分类结果。本文只介绍了利用同一分类器的集成方法。除此之外，还有一些利用不同分类器的集成方法。
  多个分类器组合可能会进一步凸显出单分类器的不足，比如过拟合问题。

进一步深入（点下面博客）

• 深入了解分类器错误率上下限
• 进一步了解对分类器的性能判断：多出多重指标

来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/78212124
原文：https://blog.csdn.net/tiandijun/article/details/48036025