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指数分布族的概念

指数分布族是一系列分布的统称，包含连续和离散的相关分布。例如，正太分布(Gaussian)、泊松分布（Poisson）、二项分布(Bernoulli)、指数分布(exponential)、Gamma分布、多项式分布(multivariate)等。
指数分布族中的分布以及指数分布族的性质，经常用于机器学习(machine learning)模型的参数假设以及参数推理中。较为典型的模型是生成模型，例如主题模型(Topic Models)中经常使用到的共轭分布(multivariate和Dirichlet分布、Bernoulli和Beta分布、Poisson和gamma分布等)。指数分布族中的共轭经常用于参数推理、另外其统计特性经常用于变分推理。例如，有兴趣的可以详细阅读下面几篇文章：

• Blei D M, Ng A Y, Jordan M I. Latent dirichlet allocation[J]. Journal of machine Learning research, 2003, 3(Jan): 993-1022.
• Teh Y W, Newman D, Welling M. A collapsed variational Bayesian inference algorithm for latent Dirichlet allocation[C]//Advances in neural information processing systems. 2007: 1353-1360.
• Blei D M, Kucukelbir A, McAuliffe J D. Variational inference: A review for statisticians[J]. Journal of the American Statistical Association, 2017, 112(518): 859-877. 【变分推断的综述性文章–案例代码为：https://blog.csdn.net/qy20115549/article/details/86694325】
• Su J. Variational Inference: A Unified Framework of Generative Models and Some Revelations[J]. arXiv preprint arXiv:1807.05936, 2018. 【变分自编码器VAE、生成对抗网络GAN】
• Wainwright M J, Jordan M I. Graphical models, exponential families, and variational inference[J]. Foundations and Trends? in Machine Learning, 2008, 1(1–2): 1-305. 【一本书】

指数分布族中的分布于都写成下面的形式：

其中：

• $\eta$为自然参数(natural parameter)，可以是向量形式
• $T(x)$为充分统计量(sufficient statistic)
• $A(\eta )$为累计函数(cumulant function)，作用是确保概率和为1
• $h(x)$为underlying measure

典型分布转化

Bernoulli分布

以下是Bernoulli分布的转化：

对比上面的形式，可以得到：

Poisson分布

泊松分布的标准形式为：

写成指数形式为：

因此泊松分布也属于指数分布族，其相关参数为：

Gaussian分布

正太分布的形式为：

写成指数形式为：

因此，也满足指数组分布：

高斯分布有两个参数，因此自然参数以及充分统计量都有两个。

多元Gaussian分布

标准形式为：

写成指数族形式：

对比：

可以得到：

自然参数为：

cumulant function为：

Multinomial分布

多项式分布的形式为：

重写为：

从这里发现，累计函数$A(\eta )$为0了，实际上并不为0。继续转化有：

这里有：

因此，可以得到：

由这个式子可以转化得到${\pi }_k$，即：

可以看出这个式子是softmax函数。
另外，我们也可以获得：

变分推断应用

在变分推理中，经常使用到的是$A(\eta )$性质，即$A(\eta )$对$(\eta$的一阶偏导数：

上面这个公式，可以由最原始的公式得到。继续计算有：

例如，对二项分布而言：

对正太分布而言：

在变分推理中，经常要计算期望，通过这个性质，便可以将期望计算转化成求导计算。例如，

LDA模型

LDA的概率图表示如下：

主题分布$\theta$服从先验为$\alpha$的Dirichlet分布，即：

其中：

对$\theta$的分布进行转化有：

因此，可以看出Dirichlet分布也属指数分布，由上面的公式得到：
自然参数${\eta }_i$:

sufficient statistic为：

log normalizer或cumulant function为：

基于上面这三个公式有：

在LDA的变分推理中，需要将下界ELOB转化为多项期望，如下面所示：

此公式中，包含多个期望，在计算时，每个期望都需要推导出公式。由于前面已经分析参数$\theta$，下面只例举$E_q[logp({\theta }_j|\alpha )]$:

在上面公式标红的部分，便可转化成偏导的计算，这里$\theta$对应的变分参数为$\gamma$，即：


这里的log normalizer或cumulant function为：

进而可以计算公式标红的期望：

其中，$\Psi (?)$为digamma函数，及Gamma函数对数的一阶偏导数。因此有：

关于其他期望的求法与这个类似，这里不作过多赘述，有兴趣的可以学习这篇文章：
Inference Methods for Latent Dirichlet Allocation

参考内容

https://people.eecs.berkeley.edu/~jordan/courses/260-spring10/other-readings/chapter8.pdf
http://www.cs.columbia.edu/~jebara/4771/tutorials/lecture12.pdf
https://people.eecs.berkeley.edu/~jordan/courses/260-spring10/other-readings/chapter9.pdf
http://times.cs.uiuc.edu/course/598f16/notes/lda-survey.pdf [lda推理]