基础科普
首先既然要讲信号，那就离不开正弦波，高中学过sinθ、cosθ函数，分别称他们为正弦函数和余弦函数。But，实际应用中，不管是sinθ还是cosθ都统称为正弦函数
以sinθ为例：
当这个点绕这个圆逆时针转动，sinθ的值如下图所变化
当我们引入动态的概念后，正弦值不再是一个单纯的值，而是引申出了波的概念
- 这个点围绕的圆有多大——>波幅
- 这个点旋转的速度有多快——>角速度——>频率
- 这个点最初的位置在哪里——>相位
- 数学表达式——> f（t）= Asin（ωt + φ）+ k
- A表示振幅
- ω表示角速度，与f是对应关系（ω=2πf）
- φ表示相位，sinθ与cosθ的不同也仅仅只是φ的不同
- k表示波的偏移，也就是在y轴上的偏移
热身完毕，接下来正餐时间
1. 傅里叶变换
“任何”周期信号都可以用一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。
在不讨论适用前提下（狄里赫利条件），这些信号
都可以用这一个公式表示出来
如何用正弦波组成一个近似的方波：
SO，有啥用？
如果可以将信号分解为正弦函数的累加和,不就等于知道了这个信号是由哪些频率的正弦波构成了的么,同时,我们还能知道对应频率的波在信号中的能量和相位信息.
声学信号的波形图，如果你光看很难分出来你是男声还是女声，但从频域图却能很容易看出来，女声高频能量居多，男声低频能量居少
图像的频域分析,图像的低频代表着轮廓信息,高频代表着细节信息,相位代表位置信息,你要是想让图像变模糊,简单,把高频的能量压下来就行了,想让图像变尖锐,高频能量加上去就行了
所以我们如何将f（t）变成
的这种形式？
- 对正弦波正无穷到负无穷内进行积分,其结果必定是0(主值积分，取周期)
- 结论：不同频率的正弦波相乘,对其周期积分后,其结果是0
- 这也称为三角函数的正交性
在信号处理的公式中比如傅里叶变换,默认都以柯西主值积分，所以不存在发散的情况
那么意味着什么？
比如有一个信号，我想知道这里面有没有100HZ频率的正弦波信号，只需将这个信号与100HZ信号相乘，如果其周期上的结果积分不为0，那么这段信号里必有100HZ的信号！
正弦波公式3要素：A、ω、φ
k对于波形没有任何影响，只影响波形的位置，也就是说只要知道这3个数，就可以画出正弦波
那么现在ω知道了，接下来该求A和φ
这就是最核心的傅里叶级数
你可能有点疑惑，为毛跟我课本上看的不太一样？
▼难道不是这样 ？
▼没关系，先来看看欧拉公式
将欧拉公式代入
跟上面的式子相比 ，多了个复数，其实这个复数没啥大用，只是为了区分sin与cos
2. 拉普拉斯变换
首先看看拉普拉斯变换
啊这…这不就傅里叶公式再 乘 e-σ吗?
这就来扒一扒为啥要乘这个e-σ
接着来看一下 f(t) 这个信号图
这个信号，随着时间的增加，无穷大了，这显然是不想看到的
所以，我们加入e-σ，把这个上天的信号，给它掰下来
你看，这样就皆大欢喜了，这也就是拉普拉斯变换，这个e-σ叫衰减因子
3. Z变换
Z变换就是将连续的信号转换为离散的信号，一般对于计算机的计算适用。
因为计算机的信号是离散的，而信号是连续的，如何将光滑连续的曲线变成一个个连续的点？那么Z变换就派上了用场
- 首先把连续的信号换成离散的"点"，积分是不能用了，既然换成离散，那么积分对应的就应该变成累加符号∑
- f（t）也是不能用了,这是一个连续信号的写法,而离散的一个一个的点得换成 x[n] （n表示第n个点）
- e-jωt也是不能用了，将t换成n，ω具体的动态角速度换成角度Φ
综合如下▼
这不就是妥妥的Z变换么
总结
| 傅里叶变换 | 拉普拉斯变换 | Z变换 |
|---|---|---|
| 时域于转化为频域分析频谱 | 傅里叶进化版，用于解决特定情况 | 傅里叶的离散版 |