Candy Collection

题意

有一串糖果箱，每个箱子有颜色，装有一定数量的糖果，然后现在要用大一点的条状箱子把它们运回去，每个条状箱子中装的是一段连续的箱子，不能有相同颜色的箱子，每个箱子的运费是所有箱子糖果数的按位或的和。求最小运费。

$1\le$箱子数量$\le 5?10^5$
$1\le$颜色$\le 10^6$
$0\le$糖果数$\le 10^6$

传送

传送

题解

令$dp[i]$表示前i个箱子装完的最小代价，令$l_{max}[i]$表示最左边的一个位置，使得这个位置到$i$都没有重复的颜色。那么有一个比较显然的dp方程$$dp[i]=mindp[j?1]+or(i,j)(l_{max}[i]\le j\le i?1)$$
$or(i,j)=a_{i}or{a}_{i+1}or???or{a}_j$
然后显然时间复杂度是$O(n^2)$的，考虑优化。

方法一

区间$min$,上线段树。

然后就是从左往右遍历的时候这个$or$函数非常不好搞，按位拆开的话，总和的$min$又不好求，但是我们发现我们始终维护的是一些右端点为$i$的区间，这意味着，如果在$i$之前有一个$a_j$的第$b$个二进制位是$1$，那么$or(1,i),or(2,i),???,or(j,i)$的第b个二进制位都是1，所以我们枚举当前糖果数量$V_i$的是1的二进制位，预处理$pre[i][j]$表示i位置前最近的，第j个二进制位是1的数的位置，这个数组$O(n\log V_i)$就可以处理完毕。然后我们就在线段树上的$[pre[i][b],i]$这个区间加上$2^b$，就可以实现维护。剩下的就很简单了，区间修改，区间查询最小值。时间复杂度$O(n\log n\log V_i)$

方法二

同样聚焦于这个or函数，因为or只有区间合并性，没有区间可减性，所以不能用前缀和，用st表$O(n\log n)$预处理之后可以做到$O(1)$计算$or(i,j)$。其次，考虑那一长串的or值$or(1,i),or(2,i),???$其实不同的or值最多只有$O(\log V_i)$种，而如果$[a,b]$这段区间的or值相同，那么我肯定取a转移是更优的。所以我做这么多次二分，找出那$\log V_i$个可转移的点，然后转移就行了。时间复杂度也是$O(n\log n\log V_i)$