数学知识——概率统计（10）：小结——（概率）分布、概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x)_综合

1. 思考

学的有些模糊了，回过头来突然想不起“概率”到底是什么定义，也不知道“分布”的含义，还有，概率统计到底在干一件什么事情？

跳出细枝末节，宏观的来看，其实，本质上不也就是在玩“数据”么：

数据——随机变量；
获取数据——抽样；
描述数据——分布（“总体的”细节描述）、统计量（总体的概述）、相关性分析（变量之间）；
分析数据——统计推断方法（参数估计、假设检验）；
规律描述——大数定理、中心极限定理
…

注：分析分布（而不是分析有限的样本）需要使用CDF。

2. 内容补充：分布

分布
描述变量的最佳方法之一是列出该变量在数据集中的值，以及每个值出现的次数。这种描述称为该变量的分布（distribution）。（这是”分布“的广义说法）

分布最常用的呈现方法是直方图（histogram），即展示每个值的频数（frequency）的图形。在这里，“频数”指一个值出现的次数。
ps：直方图是一个样本分布的完整描述，也可以使用几个描述性的统计量对变量进行一个概述。

除了直方图，另一种可以表示分布的方法是概率质量函数（probability mass function，PMF）。概率质量函数将每个值映射到其概率。
ps：概率（probability）是频数的分数表示，样本量为n。要从频数计算出概率，我们将频数除以n，这一过程称为正态化（normalization）。

直方图和PMF的区别：直方图将值映射到整数型的计数值，而PMF将值映射到浮点型的概率值。
累积分布函数（CDF）
CDF（cumulative distribution function）

PMF适用于变量值数量较少的情况。
在进行分布比较时，CDF尤为有用。
概率密度函数（PDF）
CDF的导数称为概率密度函数（probability density function，PDF）。
对于特定值x，人们通常不会计算其PDF。计算PDF得到的不是概率，而是概率密度（density）。

在物理学上，密度是单位体积的质量。要计算质量，必须用密度乘以体积。如果密度不是常量，那么需要将其与体积进行积分。
类似地，概率密度度量单位 x 的概率。为了计算概率，必须在 x 的取值范围上进行积分。
（x是变量了，需要积分了）

核密度估计（kernel density estimation，KDE）是一种算法，可以对一个样本寻找符合样本数据的适当平滑的PDF。
分布框架

分布函数的关系框架：
在这里插入图片描述
我们最先接触的是PMF。PMF代表一组离散值的概率。要从PMF得到CDF，需要把概率值累加得到累积概率。反过来，要从CDF得到PMF，需要计算累积概率之间的差值。我们将在接下来的几节讨论这些计算的具体实现。

PDF是连续型CDF的导数，或者说，CDF是PDF的积分。请记住：PDF将值映射到概率密度，要得到概率，必须进行积分运算。

要从离散型分布得到连续型分布，可以进行各种平滑处理。一种平滑处理方法是，假设数据来自一个连续的分析分布（如指数分布或正态分布），然后估计这个分布的参数。另一种方法是核密度估计。

平滑处理的逆向操作是离散化（discretizing），或称为量化（quantizing）。如果在离散点上计算PDF，就可以生成近似这个PDF的PMF。使用数值积分可以获得更好的近似。

3. 总结

分布、概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x)

3.1 分布 = 概率分布（probability distribution）= 性质（描述）

广义上的分布 = 随机变量的概率性质

同分布是一种等价关系，每一个等价类就是一个分布。如我们通常谈到的离散分布、均匀分布、伯努利分布、正态分布、泊松分布等，都是指各种类型的分布

狭义上的分布 = 随机变量的概率分布函数

在这里做一个统一，“分布”指广义的分布（描述）。所以分为离散型随机变量的分布（描述）和连续性随机变量的分布（描述）

3.2 离散型：概率函数P(x)和分布列

离散型随机变量的分布描述，用概率函数P(x)实现，得到的整体描述形成了离散型随机变量的分布（列），如：
在这里插入图片描述
注意①：概率分布（列）和概率函数只对离散型变量有意义！描述连续性随机变量需要用概率分布函数和概率密度函数。

为什么"概率分布（列）和概率函数只对离散型变量有意义" ？

离散型变量取某个值xi的概率P(xi)是个确定的值（虽然很多时候我们不知道这个值是多少），即P(xi)≠0：例如，投一次骰子出现2点的概率是P(2)=1/6。

对于连续型变量而言，“取某个具体值的概率”的说法是无意义的，因为取任何单个值的概率都等于0，只能说“取值落在某个区间内的概率”，或“取值落在某个值邻域内的概率”，即只能说P(a<x_i≤b)，而不能说P(x_i)。

注意②：“概率分布函数F(x)”和“概率密度函数f(x)”也是可以描述离散型变量的。即：
F(x_i)=P(x<x_i)=sum(P(x₁),P(x₂),……,P(x_i))（对于离散型变量）或求积分（对于连续型变量，见后图）。

3.3 连续型：概率分布函数F(x)和概率密度函数f(x)

总而言之，对于有限可能的随机事件（离散型），我们可以单个统计其概率，但是但对于有无限可能的随机事件（连续性），元素的个数多到无法用整数下标来编号。

对于”随机的扔一个点到这个正方形里，这个点落在右上方也就是红色区域里的概率是多少？“的问题，我们选择使用了“面积”这一指标来计算，这用到了积分计算。
在这里插入图片描述

概率分布函数F(x)：给出取值小于某个值的概率，是概率的累加形式。

概率分布函数F(x)的作用：如下图
（1）给出x落在某区间(a,b]内的概率：P(a<x≤b)=F(b)-F(a)
（2）根据F(x)的斜率判断“区间概率”P(A<x≤B)的变化（实际上就是后面要说的概率密度函数f(x)）（特别注意：是判断“区间概率”，即x落在(A,B]中的概率，而不是x取某个确定值的概率，这是连续型变量和离散型变量的本质区别）
??某区间(A,B]内，F(x)越倾斜，表示x落在该区间内的概率P(A<x≤B) 越大。如图中(a,b]区间内F(x)的斜率最大，如果将整个取值区间以δx=b-a的间隔等距分开，则x落在(a,b]内的概率最大。为什么？因为P(A<x≤B) )=F(B)-F(A)，所有区间中只有在(a,b]这个区间上（即A=a，B=b）F(B)-F(A)达到最大值，也就是图中竖向红色线段最长。

概率分布函数解析

概率密度函数f(x)：给出了变量落在某值x_i邻域内（或者某个区间内）的概率变化快慢。
概率密度函数某一点的值不是概率，而是概率的变化率，概率密度函数下面的面积才是概率。或者换句话说，f(x)的取值表示的是该处极小区间内概率的大小，用来表示该点 可能性大小，但不是取值的概率。（变化率越大 = 越“陡峭” = 可能性越大）

概率、概率分布函数、概率密度函数之间的关系
把分布表推广到无限情况，就可以得到连续型随机变量的概率密度函数。此时，随机变量取每个具体的值的概率为0，但在落在每一点处的概率是有相对大小的，描述这个概念的，就是概率密度函数。你可以把这个想象成一个实心物体，在每一点处质量为0，但是有密度，即有相对质量大小。

参考：

《概率思维》
概率论与数理统计学习总结
概率分布
概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x)
理解概率密度函数