欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)是一位伟大的瑞士多产数学家,以下这张“复平面“上的示意图可以算是他的代表作:
数学常数e=2.71828......就是欧拉首次引入数学的,因而也叫做“欧拉常数”,作为自然对数的“底”(Base)。虚数单位的符号“i”也是欧拉引入数学的。上图显示的数学公式将指数函数与三角函数美妙地联系在一起,可以说,该公式代表了人类数学智慧的一项“杰作”。这个公式是怎么推导出来的呢?
在十六世纪中叶,牛顿与莱布尼兹大量使用无穷小量进行数学推理与创作,留下了不少数学”瑕疵“(指数学推理的不严谨性)。1734年,英国大主教Berkeley据此讥讽无穷小是”The ghost of departed quantities”(“逝去量的鬼魂”),使无穷小颜面扫地。但是,到了1748年,欧拉不为所动,仍然坚信无穷小是存在的,而且其运算特性如同有限数一样,继续使用无穷小方法进行数学创作。
法国大数学家拉普拉斯(Laplace,1749-1827)评论欧拉对世界数学界的影响时说:"Read Euler, read Euler, he is the master of us all."(”阅读欧拉,阅读欧拉,他是我们大家的老师“。)
根据文献记载,在1748年,欧拉仍然坚信无穷小是存在的,使用无穷小演算进行数学创作,证明了上述欧拉公式。其推理过程如下:
假定ω是无穷小量(Infinitesmal),考虑正数a的ω次幂,显然这个数无地限接近于1,因而,令其为1+kω。等式两边以底a取对数,得到无穷小等式如下:
ω = log(1+kω)。
这里,k是待定常数。然后,将其展开为幂级数,经过一系列的数学演算,最终得到欧拉常数e的计算公式(定义)以及上述著名的欧拉公式。十分明显,无穷小量在这里发挥了重大作用。据此,人们称欧拉为“The greatest champion of Infinitesmal”(最伟大的无穷小斗士)。