RL策略梯度方法之(十一):proximal policy optimization (PPO)

本专栏按照 https://lilianweng.github.io/lil-log/2018/04/08/policy-gradient-algorithms.html 顺序进行总结 。

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近端策略优化算法
$PPO$ ：[ paper | code ]

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原理解析

PPO在原目标函数的基础上添加了KL divergence 部分，用来表示两个分布之前的差别，差别越大则该值越大。那么施加在目标函数上的惩罚也就越大，因此要尽量使得两个分布之间的差距小，才能保证较大的目标函数。

TRPO 与 PPO 之间的差别在于它使用了 KL divergence（KL散度） 作为约束，即没有放到式子里，而是当做了一个额外的约束式子，这就使得TRPO的计算非常困难，因此较少使用。

理论部分推导

1. PG算法回顾

Actor对于一个特定的任务，都有自己的一个策略 $\pi$，策略 $\pi$ 通常用一个神经网络表示，其参数为 $\theta$ 。从一个特定的状态state出发，一直到任务的结束，被称为一个完整的eposide，在每一步，我们都能获得一个奖励 $r$，一个完整的任务所获得的最终奖励被称为 $R$。这样，一个有 $T$ 个时刻的eposide，Actor 不断与环境交互，形成如下的序列 $\tau$：

这样一个序列 $\tau$ 是不确定的，因为Actor在不同state下所采取的action可能是不同的，一个序列 $\tau$ 发生的概率为：

序列 $\tau$ 所获得的奖励为每个阶段所得到的奖励的和，称为 $R(\tau )$ 。因此，在Actor的策略为 $\pi$ 的情况下，所能获得的期望奖励为：

而我们的期望是调整Actor的策略 $\pi$，使得期望奖励最大化，于是我们有了策略梯度的方法，既然我们的期望函数已经有了，我们只要使用梯度提升的方法更新我们的网络参数 $\theta$（即更新策略 $\pi$）就好了，所以问题的重点变为了求参数的梯度。梯度的求解过程如下：

上面的过程中，我们首先利用 log 函数求导的特点进行转化，随后用 $N$ 次采样的平均值来近似期望，最后，我们将 $p_{\theta }$ 展开，将与 $\theta$ 无关的项去掉，即得到了最终的结果。

所以，一个PG方法的完整过程如下：

我们首先采集数据，然后基于前面得到的梯度提升的式子更新参数，随后再根据更新后的策略再采集数据，再更新参数，如此循环进行。注意到图中的大红字only used once，因为在更新参数后，我们的策略已经变了，而先前的数据是基于更新参数前的策略得到的。

2. PG方法的小tip

增加一个基线

通过上面的介绍你可能发现了，PG方法在更新策略时，基本思想就是增加reward大的动作出现的概率，减小reward小的策略出现的概率。假设现在有一种情况，我们的reward在无论何时都是正的，对于没有采样到的动作，它的reward是0。因此，如果一个比较好的动作没有被采样到，而采样到的不好的动作得到了一个比较小的正reward，那么没有被采样到的好动作的出现概率会越来越小，这显然是不合适的，因此我们需要增加一个奖励的基线，让reward有正有负。
一般增加的基线是所获得奖励的平均值：

变为reward-to-go

往往一个动作的reward跟之前的reward没有什么关系。所以这里，将这个序列的reward变为 这个动作及其之后的reward的加和：

增加折扣因子

这个很容易理解，就像买股票一样，未来的1块钱的价值要小于当前1块钱的价值，因此未来的1块钱变成现在的价值，需要进行一定的折扣

使用优势函数

我们之前介绍的PG方法，对于同一个eposide中的所有数据，使用的奖励都是一样的，其实我们可以将其变为与 $s_t$ 和 $a_t$ 相关的。这里我们使用的是优势函数，即 $Q_{\pi }(s_t,a_t)?V_{\pi }(s_t)$ 。其中 $Q_{\pi }(s_t,a_t)$ 可以使用从当前状态开始到eposide结束的奖励折现和得到， $V_{\pi }(s_t)$ 可以通过一个critic来计算得到。

3. PPO算法原理简介

接着上面的讲，PG方法一个很大的缺点就是参数更新慢，因为我们每更新一次参数都需要进行重新的采样，这其实是中on-policy的策略，即我们想要训练的agent和与环境进行交互的agent是同一个agent；与之对应的就是off-policy的策略，即想要训练的agent和与环境进行交互的agent不是同一个agent，简单来说，就是拿别人的经验来训练自己。

那么为了提升我们的训练速度，让采样到的数据可以重复使用，我们可以将on-policy的方式转换为off-policy的方式。即我们的训练数据通过另一个Actor（对应的网络参数为 ${\theta }^{\prime }$ 得到。这要怎么做呢？通过下面的思路：

• 重要性采样技术将其改为off-policy，重要性采样（IS）的介绍如下

$$\begin{array}{rlr}{E}_{x?p(x)}[f(x)]& =\int p(x)f(x)dx& \\ & =\int \frac{p(x)}{q(x)}q(x)f(x)dx& \\ & =E_{x?q(x)}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]& \text{; 红色部分是重要性权重}\end{array}$$

通过重要性采样这种方式，我们的 $p(x)$ 和 $q(x)$ 的分布不能差别太大，否则需要进行非常多次的采样，才能得到近似的结果；下面通过一个例子进行说明。

• 如上图所示，很显然，在 $x$ 服从 $p(x)$ 分布时，由图可见，在左半部分 $x<0$ 的时候概率较大，此时 $f(x)$ 的期望为负；
• 那么此时我们从 $q(x)$ 中来采样少数的 $x$，那么我们采样到的 $x$ 很有可能都分布在右半部分，此时 $f(x)$ 大于0，我们很容易得到 $f(x)$ 的期望为正的结论，这就会出现问题，因此需要进行大量的采样。

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所以修正后的off-policy style的PG算法的目标函数变为
$$?{\overline{R}}_{\theta }=E_{\tau ?p_{{\theta }^{{}^{\prime }}}(\tau )}[\frac{p_{\theta }(\tau )}{p_{{\theta }^{{}^{\prime }}}(\tau )}R(\tau )?log{p}_{\theta }(\tau )]$$

根据上个小节所述的tips，引入baselines方法【减小方差】，同时引入折扣因子（reward-to-go考虑长期收益影响），引入对当前action相对平均值有多好的评价函数，即优势函数$A^{\pi }(s_t,a_t)$

推导可以得到新的目标函数如下：

上式中 最后一项因为我们假设两个分布不能差太远，所以认为他们是相等的，为了求解方便，我们直接划掉。此时似然函数变为：

由梯度变为似然函数，使用的是下面式子：$?f(x)=f(x)?logf(x)$，大家可以自己手动算一下。

我们前面介绍了，我们希望 $\theta$ 和 ${\theta }^{\prime }$ 不能差太远，这并不是说参数的值不能差太多，而是说，输入同样的state，网络得到的动作的概率分布不能差太远。得到动作的概率分布的相似程度，我们可以用KL散度来计算，将其加入PPO模型的似然函数中，变为：

在实际中，我们会动态改变对 $\theta$ 和 ${\theta }^{\prime }$ 分布差异的惩罚，如果KL散度值太大，我们增加这一部分惩罚，如果小到一定值，我们就减小这一部分的惩罚，基于此，我们得到了PPO算法的过程：

PPO算法还有另一种实现方式，不将KL散度直接放入似然函数中，而是进行一定程度的裁剪：

上图中，绿色的线代表min中的第一项，即不做任何处理，蓝色的线为第二项，如果两个分布差距太大，则进行一定程度的裁剪。最后对这两项再取min，防止了 $\theta$ 更新太快。

总结一下：
PPO算法加入对off-policy策略引入中的${\theta }^{{}^{\prime }}$的约束，设定新的目标函数为
$$\begin{gathered} ClippedVersionJ(\theta )=\widehat{E_t}[\min (r_t(\theta )A_t^{\pi },clip(r_t(\theta ,1??,1+?))A_t^{\pi })] \\ KLPenaltyVersionJ(\theta )=\widehat{E_t}[r_t(\theta )A_t^{\pi }?\beta \mathcal{K}\mathcal{L}[{\pi }_{{\theta }^{{}^{\prime }}},{\pi }_{\theta }]] \end{gathered}$$
where $r_t(\theta )=\frac{{\pi }_{\theta }}{{\pi }_{{\theta }^{{}^{\prime }}}}$，两种方法的目的都是约束两次更新的网络参数分布距离较近，避免不稳定现象

通过以上介绍可以得到PPO算法的基本流程伪代码如下：

    for iteration=1,2,... dofor actor=1,2,...N doRun policy \theta_{
    old} in env for T timestepsCompute advantage estimates Aend forOptimize L for params of actors and critic with batched data\theta_{
    old} <-- \thetaend for

4. 特殊说明

几点需要特别说明的

• off-policy体现在只需要用上一次的actor中policy的old参数生成多个trajectory求得loss，再用梯度反向传播方法对新的参数进行更新一次，而不是需要每次都要重新生成数据
• 两个分布相除是在对数域上相减得到
• 算法中提到的${\theta }^{{}^{\prime }}$和$\theta$是两次循环更新的值，由于重要性采样得到的公式可以看到期望值是在${\theta }^{{}^{\prime }}$上计算的，所以是先用未更新的网络生成trajectory计算loss，经过循环累加用来更新新的$\theta$

算法实现

总体流程

代码实现

创建环境

import gym
env = gym.make('Pendulum-v0').unwrapped

得到state、action、reward
这里我们首先得到state，action和即时奖励reward的序列，随后我们要计算折现的奖励和，get_v()是一个得到状态价值的函数。使用v(s) = r + gamma * v(s+1)不断进行循环。

for t in range(EP_LEN):    # in one episodeenv.render()a = ppo.choose_action(s) # 根据一个正态分布，选择一个actions_, r, done, _ = env.step(a)buffer_s.append(s)buffer_a.append(a)buffer_r.append((r+8)/8)    # normalize reward, find to be usefuls = s_ep_r += r# update ppoif (t+1) % BATCH == 0 or t == EP_LEN-1:v_s_ = ppo.get_v(s_)discounted_r = []for r in buffer_r[::-1]:v_s_ = r + GAMMA * v_s_discounted_r.append(v_s_) # v(s) = r + gamma * v(s+1)discounted_r.reverse()bs, ba, br = np.vstack(buffer_s), np.vstack(buffer_a), np.array(discounted_r)[:, np.newaxis]buffer_s, buffer_a, buffer_r = [], [], []ppo.update(bs, ba, br)

定义critic计算优势函数
这里我们定义了一个critic来计算优势函数，状态价值定义了一个全联接神经网络来得到，而折扣奖励和我们之前已经计算过了：

#critic
with tf.variable_scope('critic'):l1 = tf.layers.dense(self.tfs,100,tf.nn.relu)self.v = tf.layers.dense(l1,1) # state-valueself.tfdc_r = tf.placeholder(tf.float32,[None,1],'discounted_r')self.advantage = self.tfdc_r - self.vself.closs = tf.reduce_mean(tf.square(self.advantage))self.ctrain_op = tf.train.AdamOptimizer(C_LR).minimize(self.closs)

定义Actor
PPO里采用的是off-policy的策略，需要有一个单独的网络来收集数据，并用于策略的更新，同DQN的策略一样，我们定义了一个单独的网络，这个网络的参数是每隔一段时间由我们真正的Actor的参数复制过去的。

#actor
pi,pi_params = self._build_anet('pi',trainable=True)
oldpi,oldpi_params = self._build_anet('oldpi',trainable=False)
with tf.variable_scope('sample_action'):self.sample_op = tf.squeeze(pi.sample(1),axis=0)
with tf.variable_scope('update_oldpi'):self.update_oldpi_op = [oldp.assign(p) for p,oldp in zip(pi_params,oldpi_params)]self.tfa = tf.placeholder(tf.float32,[None,A_DIM],'action')
self.tfadv = tf.placeholder(tf.float32,[None,1],'advantage')

而网络构建的代码如下，这里就比较神奇了，我们的Actor网络输出一个均值和方差，并返回一个由该均值和方差得到的正态分布，动作基于此正态分布进行采样：

def _build_anet(self,name,trainable):with tf.variable_scope(name):l1 = tf.layers.dense(self.tfs,100,tf.nn.relu,trainable=trainable)mu = 2 * tf.layers.dense(l1,A_DIM,tf.nn.tanh,trainable=trainable)sigma = tf.layers.dense(l1,A_DIM,tf.nn.softplus,trainable=trainable)norm_dist = tf.distributions.Normal(loc=mu,scale=sigma) # 一个正态分布params = tf.get_collection(tf.GraphKeys.GLOBAL_VARIABLES,scope=name)return norm_dist,params

损失计算

采用KL散度或者裁切的方式，损失计算方式不同：

with tf.variable_scope('loss'):with tf.variable_scope('surrogate'):ratio = pi.prob(self.tfa)/oldpi.prob(self.tfa)surr = ratio * self.tfadvif METHOD['name'] == 'kl_pen':self.tflam = tf.placeholder(tf.float32,None,'lambda')kl = tf.distributions.kl_divergence(oldpi,pi)self.kl_mean = tf.reduce_mean(kl)self.aloss = -tf.reduce_mean(surr-self.tflam * kl)else:self.aloss = -tf.reduce_mean(tf.minimum(surr,tf.clip_by_value(ratio,1.-METHOD['epsilon'],1.+METHOD['epsilon'])*self.tfadv))

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本文的代码地址为：https://github.com/princewen/tensorflow_practice/tree/master/RL/Basic-PPO-Demo

参考的是莫烦老师的代码：https://github.com/MorvanZhou/Reinforcement-learning-with-tensorflow/blob/master/contents/12_Proximal_Policy_Optimization/simply_PPO.py

作者：文哥的学习日记
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来源：简书
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