线性代数-行列式_综合

排列：

有n个数组成的一个有序数组称为一个n级排列，n级排列共有n！个排列方式。

逆序：

一个排列中，一个大的数排在了一个小的数前面，那么这两个数就构成了逆序，必须132，那么3和2就是逆序。

逆序数：

在一个n级排列中，逆序的总数就是这个排列的逆序数，记作τ(tao)，比如：32514 ，那么就从左往右以此查看每一个数据的逆序，3的逆序有2和1，2的逆序有1，5的逆序有1和4，1和4没有逆序，因为没有比他们小的数在他们的后面，所以将前面的逆序个数全部加起来就是这个排列的逆序数。也就是5.

-------------------------------------------------------------------------------------------

行列式

行列式的定义：

通过二阶行列式的几何意义，我们清楚的知道了行列式它具体表示的是什么！

以此类推：我们得到三阶行列式的定义：

所以，行列式的本质是一个图形的体积：

二三阶行列式的总结：

从二三阶行列式，我们可以看出来，他们计算时候的每一项其实都是取自不同行不同列的，且不能重复取，那么这样就很容易的可以确定一个行列式的每一项。

行列式的一般式子：

我们官方一点的来说：n阶行列式每一项都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积。而一共有n！项。最后求的是这n！项的代数和，也就是有加有减。

如何确定是“+”还是“-”：当行下标顺序排列的时候，每一项的正负号由列下标的逆序数决定。多看一下上面的这个式子。

比如计算这一项的正负号：很明显，行下标已经是顺序排列了，那么列下标213，逆序数为1，所以-1的1次方还是-1，这一项就负的。ok，very easy！

最后我们发现，行列式最后就是一个可以计算出来的数值，就特喵的是个数！

--------------------------------------------------------------------------------------------

行列式的性质：（7个）

--------------------------------------------------------------------------------------------

余子式：

在行列式中，去掉一个元素所在的行和列，比如 ${\color{Red} a_{ij}}$ ，就是去掉第 i 行，第 j 列。那么剩下的元素组成的行列式就是这个元素的余子式，记做 ${\color{Red} M_{ij}}$

代数余子式：

在一个元素的余子式的前面加上符号就是这个元素的代数余子式，也就是 ${\color{Red} (-1)^{i+j}M_{ij}}$ ,记作 ${\color{Red} A_{ij}}$ 。所以有：

=同时呢，还有 ${\color{Red} M_{ij}}$ = ${\color{Red} (-1)^{i+j}A_{ij}}$ ，这也是成立的，想不到的，其实也好理解，就是负负得正

余子式和代数余子式的值，和被划掉的那个元素是没有关系的，就是那个 ${\color{Red} a_{ij}}$ 。

行列式的展开公式：

行列式的值等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和

注意：

这是个什么意思呢，由行列式的展开公式可以知道，行列式的值可以等于任一行（列）的元素和他们对应代数余子式的乘积之和，但是！如果串行（列）了，就是乘的不是这一行对应元素的代数余子式，比如乘的是另外一行的元素对应的代数余子式。那么这个展开式的值就是0

--------------------------------------------------------------------------------------------

几个重要的行列式

上下三角行列式

其值为主对角线元素的乘积

副对角线的上下三角行列式

其值同样等于副对角线的乘积，不过他的前面加上了一个符号的表达式， ${\color{Red} (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}}$ ,原因在于，行列式的每一项都是存在符号问题的，而上面主对角线没有这个，是因为它的逆序数为0.所以不用考虑

拉普拉斯展开式

这个东西该怎么理解？其实原理可以看成是和正副对角线的行列式是一样的，不过这里进行了广义化。这里的A、B可能也是一个行列式，但是他们在大的环境下，将他们看成一个变量，而这个时候，有一个角全是0，那么，这个行列式的最终值也可以是对角线上行列式绝对值的乘积。

范德蒙行列式

第一行全是1，第二行是一些数，第三行是这些数对应的平方，最后一行是这些数对应的n-1次方，这就是范德蒙行列式

他的值，盯着第二行看，就等于后面的减前面的最后将剪出来的值再乘积。比如第二行的元素是4 2 6 8，那么这个行列式的值为(2-4)(6-4)(8-4)(6-2)(8-2)(8-6)，每一项都要减的。

行和相等的行列式

行列式解题方法：

1.利用7大性质做恒等变形

2.话三角形法

3.范德蒙行列式法

4.递推法

5.加边法

6.爪型行列式化三角法

解题经验：

1.碰见这种行列式直接套公式

2.碰见这种用加边法

加边法固有格式

这个是固定格式，第一列一定是这样加，这样的话，我们按列展开又能回到原来的那个行列式。

3.碰见爪型行列式将他化成三角形行列式

4.碰见这种类对角线行列式用递推法

5.碰见类对角线行列式，同时它的角落还有一个非零元素的这种行列式，直接展开，注意是按行还是按列，看那个简单用哪个

6.还可以使用矩阵的一些特性求行列式