[布隆过滤器BloomFilter] 举例说明+证明推导

写在前面

网上有很多写布隆过滤器的博客，但是大部分都是只关注一个点，不能非常好的从原理到应用理解，所以这里对布隆过滤器进行了整理。很多思想和例子都来自网上的的一些博客，非常感谢这些可爱哒人儿的付出，这里会尽量整理的比较详细，规整，有头有尾。

一、引例

在提到实现去重功能时，大部分人都会直接选择HashSet，HashSet可以起到去重的效果，并且其时间复杂度为$O(1)$，但是其存在的最大问题是内存占用比较大。所以我们可以选择使用布隆过滤器。

1、引例1

我们在爬取网页信息时，如果不进行任何设置进行网页信息的爬取，则可能爬取到相同url的内容，因此我们需要去重，可以使用HashSet，但是如果url数量太多，使用HashSet需要占据大量的内存，因此我们可以使用布隆过滤器。

2、引例2

我们在使用新闻网页看新闻时，它会给我们不停的推荐新的内容，但是在每次推荐时都需要进行去重处理，去掉那些用户已经看过的内容，否则就失去了推荐的意义。那么新闻网页是如何完成去重操作的呢？

一种方法是直接进行筛选，也就是记录下用户已经访问过的新闻，每次推荐保证推荐的新闻没有被访问过，但是这种操作下，我们需要记录已经访问的新闻，而且在推荐时也要判断是否新闻已被看过，很多用户的情况下，这需要强大的内存消耗及性能要求。（若将已看过的新闻存储在内存中，则需要消耗大量的内存；若存在的数据库中，则需要频繁的数据库的exist操作；对于前端的一些缓存系统，可能判断机制是若页面在本地，则直接返回本地查询的结果，否则从后端读取，这样就造成了频繁读取缓存系统，使后端压力变大）

在这种情况下，我们可以使用布隆过滤器，判断当前新闻是否已被访问。

二、布隆过滤器功能

• 用于解决去重问题
• 起到去重的同时，空间上能节省90%以上
• 会有很小的误判率（False positive），即BloomFilter判断为不存在的一定不存在，但是其判定为存在也可能不存在（请参见原理部分，更容易理解）

三、Bloom Filter思想

1、基本思想

若想判断一个元素是不是在一个集合里，一般想到的是将所有元素保存起来，然后通过比较确定。链表、树等等数据结构都是这种思路。但是随着集合中元素的增加，我们需要的存储空间越来越大，检索速度也越来越慢。我们可以使用一种叫作散列表（又叫哈希表，Hash table）的数据结构。它可以通过一个Hash函数将一个元素映射成一个位阵列（Bit Array）中的一个点。这样一来，我们只要看看这个点是不是 1 就知道可以集合中有没有它了。这就是布隆过滤器的基本思想。

2、举例说明

布隆过滤器是一个bit向量或者说是bit数组，假设我们的Bloom Filter是一个8位的bit向量，初始元素为0，假设有3个哈希函数，则其结果示意图如下：

①如上图所示，第①步是布隆过滤器的初始结果，在这一步中，所以bit位都初始化为0
②现在如果有一个词“Java”，其hash值为1，3，6，则将其对应的bit位置1，如图②所示
③现在有另外一个词“Python”，其hash值为2，6，7，则将其对应的bit位置1，如果③所示，注意：6位置的1被覆盖
④如果现在需要查询“C++”是否存在，若“C++”对应的hash值是1，4，7，则bit为1和7对应元素是1，但是bit4位置元素是0，所以可以判断“C++”现在不存在。
判断方法： 当需要查询的词的所有bit位所有都为1时，说明待查询词可能已经存在。但是只要有一个为0，则可以说明，待查询词一定不存在。
⑤如果现在需要查询“C++”是否存在，若“C++”对应的hash值是1，6，7，则hash位置对应的元素都是1，所以可以判断“C++”可能存在。
注意： 为什么强调可能存在，是因为，当已存在的单词较多的时候，很多hash位置都为1，这时候待查询词对应的hash位置可能都为1，但是其并不存在。比如“C++”对应的hash位置是1，6，7，且对应值全部为1，所以我们判断“C++”存在，但其实在此之前我们并没有加入“C++”这个单词到BloomFilter。

3、BloomFilter可以支持的操作

• 支持插入操作
  从上述例子可以知道，如果想要插入一个元素到布隆过滤器，只需要将其对应hash对应元素置1
• 支持查询操作
  上述例子中已经提到，可以支持查询操作，也就是判断其是否已经存在。当需要查询的词的所有bit位所有都为1时，说明待查询词可能已经存在。但是只要有一个为0，则可以说明，待查询词一定不存在。
• 支持删除操作么？
  原则上BloomFilter不支持删除操作，因为其置1操作是覆盖式的，如果现在需要删除“Python”这个词，则需要将其对应的hash值位置恢复为0，即将2，6，7位置恢复为0，这种方法会使得“Java”中的6位置处的1失踪。
  当然可以采用一种方法就是计数法，比如现在BloomFilter中6位置处已经为1，再次插入时，不是覆盖1，而是进行+1操作。当进行删除操作时，不进行置0操作，而是执行减1操作。但是这种方法需要对每个bit位增加一个存储操作，会增加内存占用。

四、Bloom Filter公式推导

1、误判率推导

假设$m$是该bit数组的大小，$k$是哈希函数的个数，$n$是插入的元素的个数。
假设hash函数以等概率条件选择并设置bit位为“1”，则其概率为$\frac{1}{m}$，因此bit数组中某一特定的位在进行元素插入时的hash操作中没有被置为1的概率是$1?\frac{1}{m}$
在经过$k$个哈希函数之后，该位仍然没有被置“1”的概率是：$(1?\frac{1}{m}{)}^k$.
若插入了$n$个元素，该位仍然没有被置“1”的概率是：$(1?\frac{1}{m}{)}^{kn}$.
因为该位被置“1”的概率是：$1?(1?\frac{1}{m}{)}^{kn}$.

现在检测某一元素是否在该集合中，则表明需要判断是否所有hash值对应的位都置1，但是该方法可能会错误的认为原本不在集合中的元素是在BloomFilter中的，即导致误判率的发生，其概率为：
$$[1?(1?\frac{1}{m}{)}^{kn}{]}^k\approx (1?e^{?\frac{kn}{m}}{)}^k$$
$\approx$是因为使用了近似公式: ${\lim }_{x?>\infty }(1?\frac{1}{x}{)}^{?x}=e$
从上式可以看出，当$m$增大时，误判率减小；当$n$增大时，误判率增大。

2、最佳哈希函数个数推导

$k$为何值时，误判率可以最小呢？
误判率函数:
$$f(k)=(1?e^{?\frac{kn}{m}}{)}^k$$
令$b=e^{\frac{n}{m}}$ ，则简化为$f(k)=[(1?b^{?k}){]}^k$
两边取对数得：
$$lnf(k)=kln(1?b^{?k})$$
两边对$k$求导得：
$$\frac{1}{f(k)}?f^{\prime }(k)=ln(1?b^{?k})+\frac{k{b}^{?k}lnb}{1?b^{?k}}$$
若$f(k)$取最值，则$f^{\prime }(k)=0$，则：
$$\begin{array}{lcl}& & ln(1?b^{?k})+\frac{k{b}^{?k}lnb}{1?b^{?k}}=0\\ & & =>(1?b^{?k})?ln(1?b^{?k})=?k{b}^{?k}lnb\\ & & =>(1?b^{?k})?ln(1?b^{?k})=b^{?k}ln(b^{?k})\\ & & =>1?b^{?k}=b^{?k}\\ & & =>b^{?k}=\frac{1}{2}\\ & & =>e^{\frac{?kn}{m}}=\frac{1}{2}\\ & & =>\frac{kn}{m}=ln2\\ & & =>k=ln2?\frac{m}{n}=0.7?\frac{m}{n}\end{array}$$
也就是当$k=0.7?\frac{m}{n}$时，误判率最低，$k$为最佳哈希函数的个数。此时误判率为：
$$\begin{array}{lcl}P(error)=f(k)& =& (1?e^{?\frac{kn}{m}}{)}^k\\ & =& 2^{?ln2?\frac{m}{n}}\\ & \approx & 0.6158?\frac{m}{n}\end{array}$$

3、Bloom Filter内存占用

在实际应用时，用户需要决定需要插入的元素数$n$和期望的误差率$P$，也就是$n$和$P$这两个值是已知的，则：
（1）首先需要计算需要占用的内存大小$m$
$$\begin{array}{lcl}& & P=2^{?ln2?\frac{m}{n}}\\ & & lnP=ln2?(?ln2)\frac{m}{n}\\ & & m=?\frac{n?lnP}{(ln2{)}^2}\end{array}$$
于是，我们知道内存占用为$m=?\frac{n?lnP}{(ln2{)}^2}$bit，现在已知变量为$n$, $m$和$P$
（2）求得哈希函数的个数$k=ln2?\frac{m}{n}=0.7?\frac{m}{n}$

至此$n$, $m$，$P$和$k$都已经知道。

（3）求内存占用
当$k$最优时：$P(error)=2^{?ln2?\frac{m}{n}}$$=2^{?k}$.
$$\begin{array}{lcl}& & P(error)=2^{?k}\\ & & =>lo{g}_{2}P=?k\\ & & =>k=lo{g}_2\frac{1}{P}\\ & & =>ln2?\frac{m}{n}=lo{g}_2\frac{1}{P}\\ & & =>\frac{m}{n}=\frac{1}{ln2}?lo{g}_2\frac{1}{P}\\ & & =>\frac{m}{n}=1.44?lo{g}_2\frac{1}{P}\end{array}$$
因此，若我们设置$P=1\%$，则存储每个元素需要$\frac{m}{n}=1.44?lo{g}_2\frac{1}{0.01}=9.57$bits的空间（9.57是bit位置为0和置为1的总bit位数），此时$k=0.7?\frac{m}{n}=0.7?9.57=6.7$bits(6.7是bit位置为1的bit位数)；若我们想将误判率降低为原来的$\frac{1}{10}$，则存储每个元素需要增加$1.44?(lo{g}_{2}10a?lo{g}_{2}a)=1.44?lo{g}_{2}10=4.78$bits的空间。

当$k=0.7?\frac{m}{n}$时，误判率$P$最低，此时$P(error)=(1?e^{?\frac{kn}{m}}{)}^k$, $e^{\frac{?kn}{m}}=\frac{1}{2}$，也就是$(1?\frac{1}{m}{)}^{kn}=\frac{1}{2}$，此公式意义为：若插入了$n$个元素，该位仍然没有被置“1”的概率，也就是说想保持错误率低，布隆过滤器的空间使用率需为50%。

五、Bloom Filter优缺点

1、优点

• 布隆过滤器本质上是一种数据结构，是一种比较巧妙的概率型数据结构
• 插入和查询非常高效，占用空间少（只需要m个bit位）

2、缺点

• 其具有一定概率的误判性（False Positive），即Bloom Filter认为存在的东西很有可能不存在。
• 若不进行计数操作，BloomFilter无法进行删除操作。

六、参考文章

[1] 详解布隆过滤器的原理、使用场景和注意事项
[2] 应用 5：层峦叠嶂——redis布隆过滤器
[3] 布隆过滤器(Bloom Filter)详解
[4] 【原】布隆过滤器 (Bloom Filter) 详解