Course 2 改善深层神经网络 Week 1 一维函数和多层神经网络的梯度检查

一维函数的梯度检查

软件包导入

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

反向传播计算梯度 $\frac{?J}{?\theta }$, $\theta$ 表示模型中的参数，使用前向传播和损失函数计算 $J$ ，因为向前传播相对容易实现，所以您确信自己得到了正确的结果，所以您几乎100％确定您正确计算了 $J$。因此，您可以使用您的代码来计算 $J$验证反向传播计算的梯度 $\frac{?J}{?\theta }$。
导数（或梯度）的定义：
$$\frac{?J}{?\theta }=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{J(\theta +\epsilon )?J(\theta ?\epsilon )}{2\epsilon }$$

一维函数传播示意图

首先需用$x$前向传播计算得到$J(x)=\theta ?x$ ，然后由反向传播计算得到$\frac{?J}{?\theta }$

def forward_propagation(x, theta):'''实现一元函数的线性前向传播（计算J） J(theta)= theta * X:param x: 输入:param theta: θ，乘数:return:J：函数J(θ)= θ * X的值'''J = np.dot(theta, x)return J
def backward_propagation(x, theta):'''计算J(theta)= theta * X相对于θ的导数:param x: 输入:param theta: θ，实数:return:dtheta:相对于θc的成本梯度'''dtheta = xreturn dtheta

一维函数梯度检查

梯度检查的步骤如下，首先计算线性误差"gradapprox"，精度是 $\epsilon$.
1. ${\theta }^{+}=\theta +\epsilon$
2. ${\theta }^{?}=\theta ?\epsilon$
3. $J^{+}=J({\theta }^{+})$
4. $J^{?}=J({\theta }^{?})$
5. $gradapprox=\frac{J^{+}?J^{?}}{2\epsilon }$

• 反向传播计算得到各个值的梯度值 “grad”，然后与"gradapprox"计算出两者的欧几里得范数：
  $$difference=\frac{\mid \mid grad?gradapprox\mid {\mid }_2}{\mid \mid grad\mid {\mid }_2+\mid \mid gradapprox\mid {\mid }_2}\text{\hspace{1em}(2)}$$
  需要计算上面的公式:
  • 1’. 计算分子用 np.linalg.norm(...)
  • 2’. 计算分母用两次np.linalg.norm(...)
  • 3’. 然后相除
    当difference小于$10^{?7}$时，通常认为计算结果是正确的。

def gradient_check(x, theta, epsilon=1e-7):"""实现微分和导数间的计算，进行梯度检验Arguments:x：实值输入theta ：参数，也是实值epsilon ：微小偏移以计算近似梯度Returns:difference：近似梯度gradapprox和后向传播梯度grad之间的差值"""# 计算gradapproxthetaplus = theta + epsilon  # Step 1thetaminus = theta - epsilon  # Step 2J_plus = forward_propagation(x, thetaplus)  # Step 3J_minus = forward_propagation(x, thetaminus)  # Step 4gradapprox = (J_plus - J_minus) / (2 * epsilon)  # Step 5# 检查gradapprox是否和反向传播backward_propagation()输出grad相接近grad = backward_propagation(x, theta)numerator = np.linalg.norm(grad - gradapprox)  # Step 1'denominator = np.linalg.norm(grad) + np.linalg.norm(gradapprox)  # Step 2'difference = numerator / denominator  # Step 3'if difference < 1e-7:print("梯度检查：梯度正常")else:print("梯度检查：超出阈值")return difference

测试一下

#测试gradient_check
print("-----------------测试gradient_check-----------------")
x, theta = 2, 4
difference = gradient_check(x, theta)
print("difference = " + str(difference))

测试结果

-----------------测试gradient_check-----------------
梯度检查：梯度正常!
difference = 2.91933588329e-10

多层神经网络参数的梯度检查

前向传播计算

def sigmoid(x):"""Compute the sigmoid of xArguments:x -- A scalar or numpy array of any size.Return:s -- sigmoid(x)"""s = 1 / (1 + np.exp(-x))return sdef relu(x):"""Compute the relu of xArguments:x -- A scalar or numpy array of any size.Return:s -- relu(x)"""s = np.maximum(0, x)return sdef forward_propagation_n(X, Y, parameters):"""实现图中的前向传播（并计算成本）。参数：X - 训练集为m个例子Y - m个示例的标签parameters - 包含参数“W1”，“b1”，“W2”，“b2”，“W3”，“b3”的python字典：W1 - 权重矩阵，维度为（5,4）b1 - 偏向量，维度为（5,1）W2 - 权重矩阵，维度为（3,5）b2 - 偏向量，维度为（3,1）W3 - 权重矩阵，维度为（1,3）b3 - 偏向量，维度为（1,1）返回：cost - 成本函数（logistic）"""m = X.shape[1]W1 = parameters["W1"]b1 = parameters["b1"]W2 = parameters["W2"]b2 = parameters["b2"]W3 = parameters["W3"]b3 = parameters["b3"]# LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOIDZ1 = np.dot(W1, X) + b1A1 = relu(Z1)Z2 = np.dot(W2, A1) + b2A2 = relu(Z2)Z3 = np.dot(W3, A2) + b3A3 = sigmoid(Z3)# 计算成本logprobs = np.multiply(-np.log(A3), Y) + np.multiply(-np.log(1 - A3), 1 - Y)cost = (1 / m) * np.sum(logprobs)cache = (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3)return cost, cache

反向传播

因为这里层数比较浅，没有直接用到relu_backward()和sigmoid_backward()。

def backward_propagation_n(X, Y, cache):"""实现图中所示的反向传播。参数：X - 输入数据点（输入节点数量，1）Y - 标签cache - 来自forward_propagation_n（）的cache输出返回：gradients - 一个字典，其中包含与每个参数、激活和激活前变量相关的成本梯度。"""m = X.shape[1](Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cachedZ3 = A3 - Y # 需要考究一下dW3 = (1. / m) * np.dot(dZ3, A2.T)dW3 = 1. / m * np.dot(dZ3, A2.T)db3 = 1. / m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims=True)dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))# dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T) * 2 # Should not multiply by 2dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T)db2 = 1. / m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))dW1 = 1. / m * np.dot(dZ1, X.T)# db1 = 4. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True) # Should not multiply by 4db1 = 1. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)gradients = {
    "dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,"dA2": dA2, "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2,"dA1": dA1, "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}return gradients

参数格式转换

如果想比较"gradapprox" 与反向传播计算的梯度。 该公式仍然是：
$$\frac{?J}{?\theta }=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{J(\theta +\epsilon )?J(\theta ?\epsilon )}{2\epsilon }$$
然而，$\theta$不再是标量。 这是一个名为"parameters"的字典。 我们为你实现了一个函数"dictionary_to_vector()"。 它将"parameters" 字典转换为一个称为 “values"的向量，通过将所有参数（W1，b1，W2，b2，W3，b3）重塑为向量并将它们连接起来而获得。反函数是”vector_to_dictionary"，它返回“parameters”字典。

def dictionary_to_vector(parameters):"""Roll all our parameters dictionary into a single vector satisfying our specific required shape."""keys = []count = 0for key in ["W1", "b1", "W2", "b2", "W3", "b3"]:# flatten parameternew_vector = np.reshape(parameters[key], (-1, 1))  # 将元素转化为一行(列值为1)keys = keys + [key] * new_vector.shape[0]if count == 0:theta = new_vectorelse:theta = np.concatenate((theta, new_vector), axis=0)count = count + 1return theta, keysdef vector_to_dictionary(theta):"""Unroll all our parameters dictionary from a single vector satisfying our specific required shape."""parameters = {
    }parameters["W1"] = theta[:20].reshape((5, 4))parameters["b1"] = theta[20:25].reshape((5, 1))parameters["W2"] = theta[25:40].reshape((3, 5))parameters["b2"] = theta[40:43].reshape((3, 1))parameters["W3"] = theta[43:46].reshape((1, 3))parameters["b3"] = theta[46:47].reshape((1, 1))return parameters

L层梯度检查具体实现

这里是伪代码，可以帮助你实现梯度检查:
For each i in num_parameters:

• To compute J_plus[i]:
  1. Set ${\theta }^{+}$ to np.copy(parameters_values)
  2. Set ${\theta }_i^{+}$ to ${\theta }_i^{+}+\epsilon$
  3. Calculate $J_i^{+}$ using to forward_propagation_n(x, y, vector_to_dictionary(${\theta }^{+}$ )).
• To compute J_minus[i]: do the same thing with ${\theta }^{?}$
• 计算近似梯度 $gradapprox[i]=\frac{J_i^{+}?J_i^{?}}{2\epsilon }$， gradapprox是个向量, gradapprox[i]对应每个参数的近似梯度值。
• 反向传播计算$grads$
• 计算误差
  $$difference=\frac{\Vert grad?gradapprox{\Vert }_2}{\Vert grad{\Vert }_2+\Vert gradapprox{\Vert }_2}$$

def gradient_check_n(parameters, gradients, X, Y, epsilon=1e-7):"""检查backward_propagation_n是否正确计算forward_propagation_n输出的成本梯度参数：parameters - 包含参数“W1”，“b1”，“W2”，“b2”，“W3”，“b3”的python字典：gradient:后向传播的输出，包含对应于每个参数的成本函数的导数x - 输入数据点，维度为（输入节点数量，1）y - 标签epsilon - 计算输入的微小偏移以计算近似梯度返回：difference - 近似梯度和后向传播梯度之间的误差"""# 初始化参数parameters_values, keys = dictionary_to_vector(parameters)  # keys用不到grad = gradients_to_vector(gradients)num_parameters = parameters_values.shape[0]J_plus = np.zeros((num_parameters, 1))J_minus = np.zeros((num_parameters, 1))gradapprox = np.zeros((num_parameters, 1))# 计算gradapproxfor i in range(num_parameters):# 计算J_plus [i]。输入：“parameters_values，epsilon”。输出=“J_plus [i]”thetaplus = np.copy(parameters_values)  # Step 1thetaplus[i][0] = thetaplus[i][0] + epsilon  # Step 2J_plus[i], cache = forward_propagation_n(X, Y, vector_to_dictionary(thetaplus))  # Step 3 ，cache用不到# 计算J_minus [i]。输入：“parameters_values，epsilon”。输出=“J_minus [i]”。thetaminus = np.copy(parameters_values)  # Step 1thetaminus[i][0] = thetaminus[i][0] - epsilon  # Step 2J_minus[i], cache = forward_propagation_n(X, Y, vector_to_dictionary(thetaminus))  # Step 3 ，cache用不到# 计算gradapprox[i]gradapprox[i] = (J_plus[i] - J_minus[i]) / (2 * epsilon)# 通过计算差异比较gradapprox和后向传播梯度。numerator = np.linalg.norm(grad - gradapprox)  # Step 1'denominator = np.linalg.norm(grad) + np.linalg.norm(gradapprox)  # Step 2'difference = numerator / denominator  # Step 3'if difference < 1e-7:print("梯度检查：梯度正常!")else:print("梯度检查：梯度超出阈值!")return difference