初始化：如何当好一个红娘？
图解SfM
视觉和IMU的羁绊
怎么知道发生了闭环？
位姿图优化与滑窗优化都为哪般？
闭环优化：拉扯橡皮条
整体初始化流程如下：
1、SFM纯视觉估计滑动窗口内所有帧的位姿和3D路标点的逆深度；
2、SFM与IMU预积分松耦合，对齐求解初始化参数。
下面主要按这两个步骤进行讲解。
1、SfM纯视觉运动估计
1.1 视觉几何相关基础
1、已知两帧图像：特征点提取fast，匹配（光流，特征描述子）；
2、已知两帧图像特征匹配点：利用对极集合约束（E矩阵，H矩阵），计算两图像之间的pose（update to scale）；
3、已知相机pose，已知特征点二维坐标：通过三角化得到三维坐标；
4、已知3d点，3d特征点：通过Perspective-n-Point(PnP)求取新的相机pose。
初始化代码在estimator.cpp文件的processImage()函数中，具体在第三个步骤中完成VIO的初始化，代码如下：
// Step 3： VIO初始化
if( ESTIMATE_EXTRINSIC != 2 && (header.stamp.toSec() - initial_timestamp) > 0.1)
{result = initialStructure();initial_timestamp = header.stamp.toSec();
}具体来看initialStructure()函数的大致代码与流程如下：
为了解释视觉初始化，给定一个场景进行解释：
2.1 初始化代码：视觉部分
initialStructure()函数中首先进行的是视觉部分的初始化操作：
可以看到主要用了三个函数：
1. relativePose：计算当前帧跟参考帧的相对位姿
2. GlobalSFM::construct：SfM计算滑窗内的路标点和相机位姿
3. cv::solvePnP：计算所有位姿
4. visualInitialAlign：视觉和IMU对齐，这个函数在讲完IMU预积分之后再讲，具体见《2.2.2节》。
这里说回initialStructure()函数，initial的过程如下：
Step1：检测IMU可观性；
1.1 求加速度累计和 及 平均值；
1.2 根据上面的平均值求加速度方差
1.3 根据方差求加速度标准差。
Step2：纯视觉SFM
2.1 遍历所有特征点，每个特征点构造一个sfmFeature
2.2 求解当前帧（滑窗内最后一帧）与滑窗内最近的参考帧的相对位姿。（relativePose(R,T,l)函数）
2.3 构造sfm问题，进行sfm求解。（sfm.construct()函数）
（PS：这个construct()函数比较重要，一是因为滑窗内关键帧的初始化顺序；二是solveFrameByPnP()函数利用特征点在世界坐标系下的表示和在当前帧下的投影，计算出当前帧位姿R_cw；三是注意这里还有三角化处理，用的是当前帧 和 最后一帧或者参考帧）。
2.4 对所有帧求解PnP，利用关键帧对all_image_frame中的非关键帧进行初始化。（cv::solvePnP()函数。）
Step3：视觉惯性对齐。（visualInitialAlign()函数）
下面按上面步骤对这个initialStructure()函数进行展开详细讲解。
2.1.1 遍历所有特征点，构造一个sfmFeature
2.1.2 relativePose() 求解当前帧跟参考帧的位姿
1. 找参考帧：寻找与当前帧的共视点数较多、且视差量较大的作为参考帧；
2. 有足够的视差，再通过2D-2D对极约束，求基础矩阵，计算出当前帧到参考帧的相对位姿T。
举个例子说明上述寻找参考帧以及建立共视点关系的情况：
2.1.3 GlobalSFM::construct() 流程
在讲解construct()函数前，首先看一下GlobalSFM中用到的几个变量：
construct()函数的代码流程如下：
再对上述步骤进行拆解：
补充三角化其他未恢复的点：
最后进行一次全局BA：
Ceres自动求导过程如下：
2.1.4 计算所有帧位姿
2、SFM与IMU预积分松耦合
视觉惯性对齐函数visualInitialAlign()函数主要调用了VisualIMUAlignment()函数，这两个函数优点像。
visualInitialAlign()处理的事情比较多一些，除了对齐视觉和IMU之外，还要
2.1 IMU预积分技术基础
2.1.1 IMU传感器模型
测量值为真实值+噪声+bias偏置。
补充知识：加速度计和陀螺仪的误差可以分为：确定性误差，随机误差。
- 确定性误差可以事先标定，包括：bias，scale...
- 随机误差通常假设噪声服从高斯分布，包括：高斯白噪声，bias随机游走...
2.2.2 IMU预积分
将一段时间内的IMU数据直接积分起来就能得到i，j之间关于IMU的测量约束，即预积分量：
重新整理下PVQ的积分公式，有：
预积分的离散形式：
采用mid-point方法，即两个相邻时刻k到k+1的位姿是用两个时刻的测量值a，w的平均值来计算：
2.2 视觉SFM和IMU预积分对齐
2.2.1 视觉和IMU之间的联系
视觉SFM和IMU预积分之间存在的几何约束如下：考虑相机坐标系c0为世界坐标系，则利用外参数qbc，tbc构建等式：
其中，s为尺度因子，表示非米制单位的轨迹。等式（3）等价于：
2.2.2 视觉和IMU对齐流程
下面这个几个步骤是视觉sfm和IMU预积分对齐的
1、若没有外参，先估计旋转外参数
图中的公式（5）关系来源于下图：
继续对式（6）进行如下操作：
上面的函数在estimator.cpp文件中的Estimator::processImage()函数中调用，在Step2中就会进行外参初始化调用initial_ex_rotation.CalibrationExRotation()函数进行外参估计，得到外参数calib_ric，代码如下：
// 标定imu和相机之间的旋转外参，通过imu和图像计算的旋转使用手眼标定计算获得
bool InitialEXRotation::CalibrationExRotation(vector<pair<Vector3d, Vector3d>> corres, Quaterniond delta_q_imu, Matrix3d &calib_ric_result)
{frame_count ++;// 根据特征关联求解两个连续帧相机的旋转R12Rc.push_back(solveRelativeR(corres));Rimu.push_back(delta_q_imu.toRotationMatrix());// 通过外参把imu的旋转转移到相机坐标系Rc_g.push_back(ric.inverse() * delta_q_imu * ric); // ric是上一次求解得到的外参Eigen::MatrixXd A(frame_count * 4, 4);A.setZero();int sum_ok = 0;for (int i = 1; i <= frame_count; i++){Quaterniond r1(Rc[i]);Quaterniond r2(Rc_g[i]);// 角度误差r_k+1^k，用于后面的鲁棒核权重求解double angular_distance = 180 / M_PI * r1.angularDistance(r2);ROS_DEBUG("%d %f", i, angular_distance);// 一个简单的核函数，式（8）中w的求解double huber = angular_distance > 5.0 ? 5.0 / angular_distance : 1.0;++ sum_ok;Matrix4d L, R;double w = Quaterniond(Rc[i]).w();Vector3d q = Quaterniond(Rc[i]).vec();L.block<3, 3>(0, 0) = w * Matrix3d::Identity() + Utility::skewSymmetric(q);L.block<3, 1>(0, 3) = q;L.block<1, 3>(3, 0) = -q.transpose();L(3, 3) = w;Quaterniond R_ij(Rimu[i]);w = R_ij.w();q = R_ij.vec();R.block<3, 3>(0, 0) = w * Matrix3d::Identity() - Utility::skewSymmetric(q);R.block<3, 1>(0, 3) = q;R.block<1, 3>(3, 0) = -q.transpose();R(3, 3) = w;// 公式（7）A.block<4, 4>((i - 1) * 4, 0) = huber * (L - R); // 作用在残差上面}// 对公式（7）采用SVD分解JacobiSVD<MatrixXd> svd(A, ComputeFullU | ComputeFullV);Matrix<double, 4, 1> x = svd.matrixV().col(3);Quaterniond estimated_R(x); // 用上面的Matrix初始化四元数ric = estimated_R.toRotationMatrix().inverse();// cout << svd.singularValues().transpose() << endl;// cout << ric << endl;Vector3d ric_cov;ric_cov = svd.singularValues().tail<3>();// 倒数第二个奇异值，因为旋转是3个自由度，因此检查一下第三小的奇异值是否足够大，通常需要足够的运动激励才能保证得到没有奇异的解if (frame_count >= WINDOW_SIZE && ric_cov(1) > 0.25){calib_ric_result = ric;return true;}elsereturn false;
}补充知识：为什么要取第4个向量作为结果？
2、利用旋转约束估计陀螺仪bias
剩下的这三个函数实际都在visualInitialAlign()函数中，
课件里写得比较简洁，很多过程都省略了，看代码的时候就云里雾里看不明白，这里参照https://blog.csdn.net/jiweinanyi/article/details/99882311，给定完整的陀螺仪bias校正过程：
对于窗口中的连续两帧和
，已经从视觉SFM中得到了旋转
和
，从预积分中得到了相邻两帧旋转
，根据约束方程，建立所有相邻帧最小代价函数：
其中，对陀螺仪偏置求IMU预积分项线性化，有：
在具体实现的时候，上述约束方程为：
有：
代入上一阶展开式，有：
只考虑虚部，有：
两侧乘以
，用LDLT分解求得δbw?。
然后用LDLT分解求得偏置δbw?。代码如下：
void solveGyroscopeBias(map<double, ImageFrame> &all_image_frame, Vector3d* Bgs)
{Matrix3d A;Vector3d b;Vector3d delta_bg;A.setZero();b.setZero();map<double, ImageFrame>::iterator frame_i;map<double, ImageFrame>::iterator frame_j;for (frame_i = all_image_frame.begin(); next(frame_i) != all_image_frame.end(); frame_i++){frame_j = next(frame_i); // 找到下一帧MatrixXd tmp_A(3, 3); // H = J^T*Jtmp_A.setZero();VectorXd tmp_b(3); // rtmp_b.setZero();//R_ij = (R^c0_bk)^-1 * (R^c0_bk+1) 转换为四元數 q_ij = (q^c0_bk)^-1 * (q^c0_bk+1)Eigen::Quaterniond q_ij(frame_i->second.R.transpose() * frame_j->second.R);//tmp_A = J_j_bwtmp_A = frame_j->second.pre_integration->jacobian.template block<3, 3>(O_R, O_BG);//tmp_b = 2 * ((r^bk_bk+1)^-1 * (q^c0_bk)^-1 * (q^c0_bk+1))_vec// = 2 * ((r^bk_bk+1)^-1 * q_ij)_vectmp_b = 2 * (frame_j->second.pre_integration->delta_q.inverse() * q_ij).vec();//tmp_A * delta_bg = tmp_bA += tmp_A.transpose() * tmp_A;b += tmp_A.transpose() * tmp_b;}delta_bg = A.ldlt().solve(b); // 求出陀螺仪bias的差值ROS_WARN_STREAM("gyroscope bias initial calibration " << delta_bg.transpose());// 滑窗中的零偏设置为求解出来的零偏for (int i = 0; i <= WINDOW_SIZE; i ++)Bgs[i] += delta_bg;// 对all_image_frame中预积分量根据当前零偏重新积分for (frame_i = all_image_frame.begin(); next(frame_i) != all_image_frame.end( ); frame_i++){frame_j = next(frame_i);frame_j->second.pre_integration->repropagate(Vector3d::Zero(), Bgs[0]);}
}3、利用平移约束估计重力，速度，以及尺度因子s
根据待优化变量，整理上述方程，转换成Hx=b的形式，有：
转换成矩阵形式：
同理有：
最后得到：
也就是：
接下来看LinearAlignment()函数：
bool LinearAlignment(map<double, ImageFrame> &all_image_frame, Vector3d &g, VectorXd& x)
{// 这一部分内容对照论文进行理解// 这里是《VIO 第7讲》 —— 视觉与IMU对齐估计流程第3步：利用平移约束估计重力、速度以及尺度初始值int all_frame_count = all_image_frame.size();int n_state = all_frame_count * 3 + 3 + 1; // 速度 + 重力 + 尺度因子MatrixXd A{n_state, n_state};A.setZero();VectorXd b{n_state};b.setZero();map<double, ImageFrame>::iterator frame_i;map<double, ImageFrame>::iterator frame_j;int i = 0;for (frame_i = all_image_frame.begin(); next(frame_i) != all_image_frame.end(); frame_i ++, i ++){frame_j = next(frame_i);MatrixXd tmp_A(6, 10);tmp_A.setZero();VectorXd tmp_b(6);tmp_b.setZero();double dt = frame_j->second.pre_integration->sum_dt;// 《VIO第7讲》，公式（17）tmp_A.block<3, 3>(0, 0) = -dt * Matrix3d::Identity();tmp_A.block<3, 3>(0, 6) = frame_i->second.R.transpose() * dt * dt / 2 * Matrix3d::Identity();tmp_A.block<3, 1>(0, 9) = frame_i->second.R.transpose() * (frame_j->second.T - frame_i->second.T) / 100.0; tmp_b.block<3, 1>(0, 0) = frame_j->second.pre_integration->delta_p + frame_i->second.R.transpose() * frame_j->second.R * TIC[0] - TIC[0];// cout << "delta_p " << frame_j->second.pre_integration->delta_p.transpose() << endl;tmp_A.block<3, 3>(3, 0) = -Matrix3d::Identity();tmp_A.block<3, 3>(3, 3) = frame_i->second.R.transpose() * frame_j->second.R;tmp_A.block<3, 3>(3, 6) = frame_i->second.R.transpose() * dt * Matrix3d::Identity();tmp_b.block<3, 1>(3, 0) = frame_j->second.pre_integration->delta_v;// cout << "delta_v " << frame_j->second.pre_integration->delta_v.transpose() << endl;Matrix<double, 6, 6> cov_inv = Matrix<double, 6, 6>::Zero();// cov.block<6, 6>(0, 0) = IMU_cov[i + 1];// MatrixXd cov_inv = cov.inverse();cov_inv.setIdentity();MatrixXd r_A = tmp_A.transpose() * cov_inv * tmp_A;VectorXd r_b = tmp_A.transpose() * cov_inv * tmp_b;A.block<6, 6>(i * 3, i * 3) += r_A.topLeftCorner<6, 6>();b.segment<6>(i * 3) += r_b.head<6>();A.bottomRightCorner<4, 4>() += r_A.bottomRightCorner<4, 4>();b.tail<4>() += r_b.tail<4>();A.block<6, 4>(i * 3, n_state - 4) += r_A.topRightCorner<6, 4>();A.block<4, 6>(n_state - 4, i * 3) += r_A.bottomLeftCorner<4, 6>();}// 增强数值稳定性A = A * 1000.0;b = b * 1000.0;x = A.ldlt().solve(b); // 注意这里的求解方式是ldlt分解double s = x(n_state - 1) / 100.0; // 取出尺度ROS_DEBUG("estimated scale: %f", s);g = x.segment<3>(n_state - 4); // 取出重力，从倒数第4个位置，取一个vector3d向量，正好把重力取出来ROS_DEBUG_STREAM(" result g " << g.norm() << " " << g.transpose());// 做一些检查if(fabs(g.norm() - G.norm()) > 1.0 || s < 0){return false;}// 重力修复：《VIO第7讲》 —— 视觉与IMU对齐流程中第4步：对重力向量g_c0进行优化RefineGravity(all_image_frame, g, x);// 得到真实尺度s = (x.tail<1>())(0) / 100.0;(x.tail<1>())(0) = s;ROS_DEBUG_STREAM(" refine " << g.norm() << " " << g.transpose());if(s < 0.0 )return false; elsereturn true;
}4、优化重力向量???????
两个问题：1、为什么需要优化重力向量？2、如何优化重力向量？
考虑到上一步求得的g存在误差，一般认为重力矢量的模长是已知的，因此重力只剩下两个自由度，在切线空间上用两个变量重新参数化重力。
代码在initial_alignment.cpp文件中的RefineGravity()函数中，代码如下：
void RefineGravity(map<double, ImageFrame>& all_image_frame, Vector3d& g, VectorXd& x)
{// 参考论文Vector3d g0 = g.normalized() * G.norm();Vector3d lx, ly;//VectorXd x;int all_frame_count = all_image_frame.size();int n_state = all_frame_count * 3 + 2 + 1;MatrixXd A{n_state, n_state};A.setZero();VectorXd b{n_state};b.setZero();map<double, ImageFrame>::iterator frame_i;map<double, ImageFrame>::iterator frame_j;for(int k = 0; k < 4; k ++){MatrixXd lxly(3, 2);lxly = TangentBasis(g0); // // 重力向量优化，将重力向量参数化,这里是b1 b2纵着排列，形成的3×2矩阵int i = 0;for (frame_i = all_image_frame.begin(); next(frame_i) != all_image_frame.end(); frame_i++, i++){frame_j = next(frame_i);MatrixXd tmp_A(6, 9);tmp_A.setZero();VectorXd tmp_b(6);tmp_b.setZero();double dt = frame_j->second.pre_integration->sum_dt;// 还是公式（17）,只不过优化变量由 g^c0 变为 w^c0 （公式21的转换）tmp_A.block<3, 3>(0, 0) = -dt * Matrix3d::Identity();tmp_A.block<3, 2>(0, 6) = frame_i->second.R.transpose() * dt * dt / 2 * Matrix3d::Identity() * lxly; // 最后一项是[b1 b2]，注意优化的是w（需要求的是w向量，也就是b1和b2的参数 ）tmp_A.block<3, 1>(0, 8) = frame_i->second.R.transpose() * (frame_j->second.T - frame_i->second.T) / 100.0; tmp_b.block<3, 1>(0, 0) = frame_j->second.pre_integration->delta_p + frame_i->second.R.transpose() * frame_j->second.R * TIC[0] - TIC[0] - frame_i->second.R.transpose() * dt * dt / 2 * g0; // 公式（22）上半部分tmp_A.block<3, 3>(3, 0) = -Matrix3d::Identity();tmp_A.block<3, 3>(3, 3) = frame_i->second.R.transpose() * frame_j->second.R;tmp_A.block<3, 2>(3, 6) = frame_i->second.R.transpose() * dt * Matrix3d::Identity() * lxly;tmp_b.block<3, 1>(3, 0) = frame_j->second.pre_integration->delta_v - frame_i->second.R.transpose() * dt * Matrix3d::Identity() * g0; // 公式（22）下半部分Matrix<double, 6, 6> cov_inv = Matrix<double, 6, 6>::Zero();//cov.block<6, 6>(0, 0) = IMU_cov[i + 1];//MatrixXd cov_inv = cov.inverse();cov_inv.setIdentity();MatrixXd r_A = tmp_A.transpose() * cov_inv * tmp_A;VectorXd r_b = tmp_A.transpose() * cov_inv * tmp_b;A.block<6, 6>(i * 3, i * 3) += r_A.topLeftCorner<6, 6>();b.segment<6>(i * 3) += r_b.head<6>();A.bottomRightCorner<3, 3>() += r_A.bottomRightCorner<3, 3>();b.tail<3>() += r_b.tail<3>();A.block<6, 3>(i * 3, n_state - 3) += r_A.topRightCorner<6, 3>();A.block<3, 6>(n_state - 3, i * 3) += r_A.bottomLeftCorner<3, 6>();}A = A * 1000.0;b = b * 1000.0;x = A.ldlt().solve(b);VectorXd dg = x.segment<2>(n_state - 3); // 估计的w向量，也就是[b1 b2]的系数g0 = (g0 + lxly * dg).normalized() * G.norm();//double s = x(n_state - 1);} g = g0;
}5、求解世界坐标系w和初始相机坐标系c0之间的旋转矩阵q_wc0，并将轨迹对齐到世界坐标系下
这里还是沿用https://blog.csdn.net/jiweinanyi/article/details/99882311中的初始化思路：
1、上面的步骤已经根据旋转约束求出了陀螺仪bias bg，根据平移约束求出了gc0，s，和IMU坐标系下的速度Vs。
bool result = VisualIMUAlignment(all_image_frame, Bgs, g, x);if(!result){ROS_DEBUG("solve g failed!");return false;}
2、获取所有图像帧中frame_count数量的的位姿Ps、Rs，并将其置为关键帧。
for (int i = 0; i <= frame_count; i++){Matrix3d Ri = all_image_frame[Headers[i].stamp.toSec()].R;Vector3d Pi = all_image_frame[Headers[i].stamp.toSec()].T;Ps[i] = Pi;Rs[i] = Ri;all_image_frame[Headers[i].stamp.toSec()].is_key_frame = true;}
3、根据三角化重新计算所有特征点的带尺度模糊的深度。
//将所有特征点的深度置为-1VectorXd dep = f_manager.getDepthVector();for (int i = 0; i < dep.size(); i++)dep[i] = -1;f_manager.clearDepth(dep);//重新计算特征点的深度Vector3d TIC_TMP[NUM_OF_CAM];for(int i = 0; i < NUM_OF_CAM; i++)TIC_TMP[i].setZero();ric[0] = RIC[0];f_manager.setRic(ric);f_manager.triangulate(Ps, &(TIC_TMP[0]), &(RIC[0]));
4、优化后陀螺仪的偏置bg改变，重新进行预积分。
for (int i = 0; i <= WINDOW_SIZE; i++){pre_integrations[i]->repropagate(Vector3d::Zero(), Bgs[i]);}
5、将Ps、Vs、depth尺度s缩放后转变为相对于第0帧图像坐标系下。论文提到的以第一帧c0为基准坐标系，通过相机坐标系ck位姿得到IMU坐标系bk位姿的公式为：
之前视觉SFM的结果都是以第l帧为关键枢纽帧（以第l帧为基准坐标系），转换到第一帧b0为基准坐标系的话应该是：
for (int i = frame_count; i >= 0; i--)Ps[i] = s * Ps[i] - Rs[i] * TIC[0] - (s * Ps[0] - Rs[0] * TIC[0]); 6、通过优化后的向量得到帧速度Vs和尺度s，去除深度值的尺度模糊。
int kv = -1;map<double, ImageFrame>::iterator frame_i;for (frame_i = all_image_frame.begin(); frame_i != all_image_frame.end(); frame_i++){if(frame_i->second.is_key_frame){kv++;Vs[kv] = frame_i->second.R * x.segment<3>(kv * 3);}}for (auto &it_per_id : f_manager.feature){it_per_id.used_num = it_per_id.feature_per_frame.size();if (!(it_per_id.used_num >= 2 && it_per_id.start_frame < WINDOW_SIZE - 2))continue;it_per_id.estimated_depth *= s;}7、通过将重力旋转到z轴上，得到世界坐标系w与相机坐标系c0之间的旋转矩阵rot_diff。
Matrix3d R0 = Utility::g2R(g); // 先得到udouble yaw = Utility::R2ypr(R0 * Rs[0]).x(); // 再得到ΘR0 = Utility::ypr2R(Eigen::Vector3d{-yaw, 0, 0}) * R0; // R_wcg = R0 * g; // 将后面的gc0转换到世界坐标系下Matrix3d rot_diff = R0;
8、所有变量从参考坐标系c0转换到世界坐标系w。
// Matrix3d rot_diff = R0 * Rs[0].transpose();Matrix3d rot_diff = R0;for (int i = 0; i <= frame_count; i ++){Ps[i] = rot_diff * Ps[i];Rs[i] = rot_diff * Rs[i]; // 全部对齐到重力下，同时yaw角对齐到第一帧 R_w_ci = R_w_c0 * R_c0_ciVs[i] = rot_diff * Vs[i];}