Policy Gradient

术语和基本思想

基本组成:

actor (即policy gradient要学习的对象, 是我们可以控制的部分)
环境 environment (给定的，无法控制)
回报函数 reward function (无法控制)

Policy of actor π：

如下图所示，Policy 可以理解为一个包含参数 θ的神经网络，该网络将观察到的变量作为模型的输入，基于概率输出对应的行动action

example of policy

Episode:
游戏从开始到结束的一个完整的回合

actor的目标:
最大化总收益reward

Trajectory τ:
行动action和状态state的序列

给定神经网络参数θ的情况下，出现行动状态序列 τ的概率:
以下概率的乘积：初始状态出现的概率；给定当前状态，采取某一个行动的概率；以及采取该行动之后，基于该行动以及当前状态返回下一个状态的概率，用公式表示为：

$probability of \tau$

给定一个行动状态序列 τ, 我们可以得到它对应的收益reward，通过控制actor，我们可以得到不同的收益。由于actor采取的行动以及给定环境下出现某一个状态state是随机的，最终的目标是找到一个具有最大期望收益（即下述公式）的actor。

累积期望收益：采取某一个行动状态序列τ的概率, 以及该行动状态序列对应的收益reward的乘积之和。

expected reward

Policy Gradient

得出目标函数之后，就需要根据目标函数求解目标函数最大值以及最大值对应的policy的参数 θ。类比深度学习中的梯度下降求最小值的方法，由于我们这里需要求的是目标函数的最大值，因此需要采取的方法是梯度上升。也就是说，思想起点是一样的，即需要求出目标函数的梯度。

求解梯度的步骤如下，以前文所述目标函数为基础，对参数 θ求导，其中，对概率加权的reward求和就是求reward的期望，因此有红框部分的改写，又因为训练的过程中会进行采样训练，采样个数为N，因此公式可以近似表示为N次采样得到的reward的平均。

policy gradient

Tip 1: 添加基准线
由于训练过程中采样是随机的，可能会出现某个行动不被采样的情况，这会导致采取该行动的概率下降；另外，由于采取的行动概率和为1，可能存在归一化之后，好的action的概率相对下降，坏的action概率相对上升的情况，因此需要引入一个基准线baseline bb.
具体的例子：当policy决定采取的三个action a，b，c均有正的reward时，比如3,4,5，在计算各个action的概率的时候，本来应该给action c分配较大的概率，但是归一化之后，a的概率反而可能上升，c的概率可能会下降，与对应reward应该被分配的概率分布不符。但是引入baseline之后，可能a的reward会变为负，这样的话，采取该行动的概率就会下降。

Tip 2: 进一步考虑各个时间点的累积收益计算方式
考虑到在时间t采取的行动action与t时期之前的收益reward无关，因此只需要将t时刻开始到结束的reward进行加总。并且，由于行动action对随后各时间点的reward的影响会随着时间的推移而减小，因此加入折旧因子 γ。
这样就得到了一个考虑比较全面，比较完善的梯度计算方式。

Assign Suitable Credit

从on-policy到off-policy （反复多次使用经验）

术语和基本思想

On-policy: 学习到的agent以及和环境进行互动的agent是同一个agent
Off-policy: 学习到的agent以及和环境进行互动的agent是不同的agent

为什么要引入 Off-policy:why off policy

如果我们使用 πθ? 来收集数据，那么参数 θ 被更新后，我们需要重新对训练数据进行采样，这样会造成巨大的时间消耗。
目标：利用 πθ'来进行采样，将采集的样本拿来训练 θ ， θ' 是固定的，采集的样本可以被重复使用。

原理：Important sampling

当我们只有通过另外一个分布得到的样本时，期望值可以做出以下更改，更换分布之后，需要使用重要性权重p(x)/q(x)来修正f(x).，这样就实现了使用q分布来计算p分布期望值。
l important sampling
需要注意的是，两个分布p，q之间的差别不能太大，否则方差会出现较大的差别。

先基于原始的分布p计算函数的方差，然后计算引入不同分布q之后得到的函数方差，可以发现两者得出的方差表达式后面一项相同，主要差别在于前面那一项，如果分布p和q之间差别太大，会导致第一项的值较大或较小，于是造成两者较大的差别。
在这里插入图片描述
如果p,q两个分布的差别过大，在训练的过程中就需要进行更多次数的采样。

比如下图中，实际分布p和辅助分布q差别较大，横轴左边表示收益为负，右边表示收益为正。蓝色的线表示真实分布p的分布，主要集中在左边，也就是说，真实情况下reward的期望值应该是负的。

但是由于辅助分布q，即绿色线，主要集中在右侧，因此在采样的时候采到右边的概率更大，可能会导致多轮采样之后，算出来的期望收益依旧为正，只有当采样到左侧的点，并且乘上较大的修正系数 p/q之后，算出的结果才会变成真实的符号，负号。尽管采样到右侧的点修正系数很小，最终结果可能依旧是正确的，但这样会导致在采样上耗费较大的时间，因此，p q分布之间的差异依旧不宜过大。
在这里插入图片描述
从上述important sampling的思想出发，可以使用该思想来达到上文所述的目标，即 “利用 πθ'来进行采样，将采集的样本拿来训练 θ ， θ'是固定的，采集的样本可以被重复使用” 表示为：

提醒 :