线段树区间更新模板——懒标记（lazy-tag）的运用

一、定义

• 在线段树中会遇到区间更新的情况，例如 在区间求和问题中，令[a,b]区间内的值全部加c，若此时再采用单点更新的方法，就会耗费大量时间，这个时候就要用到懒标记来进行区间更新了。

• 懒标记（lazy-tag），又叫做延迟标记，举例说明。

设 当前结点对应区间[l, r]，待更新区间[a, b]
　当 a ≤ l ≤ r ≤ b，即 [l, r]∈[a,b]时，不再向下更新，仅更新当前结点，并在该结点加上懒标记，当必须得更新/查询该结点的左右子结点时，再利用懒标记的记录向下更新（pushdown)——懒标记也要向下传递，然后移除该结点的懒标记。

这样就不用每次都更新到叶子结点，减少了大量非必要操作，从而优化时间复杂度。

二、模板

以下均以在区间求和问题中，令[a,b]区间内的值全部加c为例

laz[rt]：表示其该结点rt对应区间[l, r]内的所有数据均要加上laz[rt]

1. 建树

建树操作与无懒标记的线段树无异，但要记得对懒标记数组进行初始化。

int a[maxn],t[4*maxn],laz[4*maxn];void build(int rt,int l,int r)
{
    if(l==r){
    t[rt]=a[l];return;}int mid=(l+r)>>1;build(rt<<1,l,mid);build(rt<<1|1,mid+1,r);t[rt]=t[rt<<1]+t[rt<<1|1]; 
}

2.向下更新

void pushdown(int rt,int l,int r)    //对结点rt向下更新一层
{
    if(laz[rt]==0)        //laz[rt]==0直接返回return;//向下更新//令左右子结点加上 laz[rt]*区间的数量//令左右子结点的懒标记加上 laz[rt]int mid=(l+r)>>1;t[rt<<1]+=laz[rt]*(mid-l+1);     laz[rt<<1]+=laz[rt];t[rt<<1|1]+=laz[rt]*(r-mid);laz[rt<<1|1]+=laz