题目链接：CF 614 C Peter and Snow Blower
题意：给出一个圆心和n边形的多边形的n个顶点，计算这个n边形绕圆心旋转所扫过的面积。已知圆心一定在多边形外面。
分析：
只要计算圆心到多边形顶点及边的最大距离和最小距离即可。
最大距离一定是在顶点位置，最小距离可能在顶点上也可能在边上。
在某条边上时，圆心与该边任一端点连线及该边所组成的角一定不是钝角，可以用余弦定理判断是钝角的情况。
然后利用海伦公式有三边长，计算圆心到边的距离（高）。
CODE：
//93MS 1600K
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;const int maxn=100010;
const long long INF=~0ull>>1;
const double pi=acos(-1.0);int n;
double maxd,mind,d1,d2,d3,d4,p;struct Point{double x,y;
}point[maxn];double dis(struct Point a,struct Point b)//计算a，b两点间距离
{return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}int main()
{
#ifdef LOCALfreopen("in.txt","r",stdin);
#endifwhile(~scanf("%d %lf %lf",&n,&point[0].x,&point[0].y)){maxd=-1;mind=INF;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf %lf",&point[i].x,&point[i].y);d1=dis(point[i],point[0]);//d1是点到圆心的距离maxd=max(maxd,d1);mind=min(mind,d1);if(i>1){d2=dis(point[i-1],point[0]);//d2是前一个点到圆心的距离d3=dis(point[i],point[i-1]);//d3是相邻两点所在的边长if(d3*d3+d2*d2<d1*d1) continue;//利用余弦定理判断圆心到边的垂心在不在边上if(d3*d3+d1*d1<d2*d2) continue;p=(d1+d2+d3)/2;d4=sqrt(p*(p-d1)*(p-d2)*(p-d3))*2/d3;//利用海伦公式计算当垂心在边上时的高长度mind=min(mind,d4);}}//计算首尾点d1=dis(point[n],point[0]);d2=dis(point[1],point[0]);d3=dis(point[n],point[1]);int flag=0;if(d3*d3+d2*d2<d1*d1) flag=1;if(d3*d3+d1*d1<d2*d2) flag=1;if(!flag){p=(d1+d2+d3)/2;d4=sqrt(p*(p-d1)*(p-d2)*(p-d3))*2/d3;mind=min(mind,d4);}printf("%.17f\n",(maxd*maxd-mind*mind)*pi);}return 0;
}
一开始我是用判断圆心到边的垂心是否在边上来判断是否计算该边上的高的。
由边的两个端点可以写出边的直线方程，然后斜率去倒数在乘（-1）和圆心联立，求的边的过圆心的垂线方程，再和边的直线方程联立可以求得垂心的横坐标，在判断垂心的横坐标是否在边上，如果在边上就由点（圆心）到直线（边所在直线）距离公式计算出高。
然而这样做在第56个样例（100000个顶点）WA了，应该是数据太大精度不准了吧。。。。不准了吧。。。了吧。。。。
/**************WA code*******/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;const int maxn=100010;
const long long INF=~0ull>>1;
const double pi=acos(-1.0);int n;
double a[maxn],b[maxn],x,y,d,maxd,mind;double dis(int i)//计算两点间距离的平方
{return (a[i]-x)*(a[i]-x)+(b[i]-y)*(b[i]-y);
}bool valid(int i,int j)//判断圆心在i，j两点所在直线上的垂心是否在线段i,j上(不包括端点)
{double p=a[i]*(b[i]-b[j])*(b[i]-b[j])+x*(a[i]-a[j])*(a[i]-a[j])+(y-b[i])*(a[j]-a[i])*(b[j]-b[i]);double q=(a[i]-a[j])*(a[i]-a[j])+(b[i]-b[j])*(b[i]-b[j]);double w=p/q;//垂心横坐标if(w>min(a[i],a[j])&&w<max(a[i],a[j])) return true;else return false;
}double calc(int i,int j)
{double p=(b[j]-b[i])*(x-a[i])-(a[j]-a[i])*(y-b[i]);double q=(b[j]-b[i])*(b[j]-b[i])+(a[j]-a[i])*(a[j]-a[i]);return p*p/q;
}int main()
{
#ifdef LOCALfreopen("in.txt","r",stdin);
#endifwhile(~scanf("%d %lf %lf",&n,&x,&y)){maxd=-1;mind=INF;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf %lf",&a[i],&b[i]);d=dis(i);maxd=max(maxd,d);mind=min(mind,d);//printf("圆心(%.3f,%.3f)到(%.3f,%.3f)的距离是：%.3f\n",x,y,a[i],b[i],d);//printf("maxd=%.3f mind=%.3f\n",maxd,mind);if(i>1){if(valid(i,i-1)){d=calc(i,i-1);// printf("圆心到线段%d--%d的距离是：%.6f\n",i,i-1,d);mind=min(mind,d);//printf("maxd=%.3f mind=%.3f\n",maxd,mind);}}}if(valid(n,1)){d=calc(n,1);//printf("圆心到线段%d--%d的距离是：%.6f\n",n,1,d);mind=min(mind,d);//printf("maxd=%.3f mind=%.3f\n",maxd,mind);}printf("%.17f\n",(maxd-mind)*pi);}return 0;
}