UVALive 6694 - Toy Boxes（思维+二分）

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UVALive 6694 - Toy Boxes
题意：
有$n$个物品，需要分在三个箱子里，每个箱子的花费是$(箱子中物品个数*箱子中物品的总重量$(箱子重量忽略不计)，求总花费最少是多少?$(n \leq 20000,每个物品的重量\leq 1000)$
分析：
先考虑将其分为两堆的情况。我们需要证明一个结论：分成两堆时一定是连续小的物品在一堆，连续大的在一堆，也就是其中一堆的任意一个物品重量都要小于另一堆。,并且小的那一堆的个数一定要大于大的那一堆的个数。
假设一堆的个数为$x$,重量为$A$，另一堆的个数为$y$，重量为$B$,如果第一堆的每一件物品$x_i$的重量都小于第二堆的任意一件物品$y_j$，并且$x>y$那么就是“稳定”的了。否则：我们可以通过交换$x_i和y_j$使得总花费更少。

• ① $x<y$且第一堆的每一件物品$x_i$的重量都小于第二堆的任意一件物品$y_j$
  从第二堆中任取一个$y_j$，重量为$b$放进第一堆中
  原有的总花费为:

  $$x*A+y*B$$ ，
  调整后：
  $$(x+1)*(A+b)+（y-1)*(B-b)\\=x*A+y*B+b*(x-y)+A+b-B+b\\=x*A+y*B+b*(x-y)+(2*b-(B-A))$$
  因为 $x<y$且第一堆的每一件物品$x_i$的重量都小于第二堆的任意一件物品$y_j$，那么$B-A>b,2*b-(B-A)<b$,同时$x-y<-1,b*(x-y)<-b$,那么 $$b*(x-y)+(2*b-(B-A))<0$$
  所以调整后更优。

• ② $x>y$且第一堆的每一件物品$x_i$的重量$a$大于第二堆的一件物品$y_j$重量$b$
  原有的总花费是:

  $$x*A+y*B$$ ,
  交换后的花费是：
  $$x*(A-a+b)+y*(B-b+a)\\=x*A+y*B+(y-x)*(a-b)$$
  显然调整后更优。

这样子可以粗略的证明了上述结论。对于分成两堆的情况，先排序然后扫一遍即可。那么分成三堆呢？我们可以枚举第一堆的个数$i$，然后二分查找第二堆的个数，因为花费关于个数是一个单峰函数。比较$mid 和mid+1$的花费情况。

注意开$long \ long$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 20010;int T, n;
ll data[MAX_N], sum[MAX_N];inline ll solve(int t, int x) //t是第二堆的个数
{int a = t, b = n - (x + t);ll A = sum[x + a] - sum[x], B = sum[n] - sum[x + a];return A * a + B * b;
}inline ll check(int x)
{ int low = 1, high = n - x - 1, mid;ll tmp1, tmp2; while(low < high - 10) {mid = (low + high) / 2;tmp1 = solve(mid, x);++mid;tmp2 = solve(mid, x);if(tmp1 > tmp2) low = mid;else high = mid - 1;}ll res = min(solve(low, x), solve(high, x));for(int i = low + 1; i < high; ++i) {res = min(res, solve(i, x));}return res;
}int main()
{scanf("%d", &T);while(T--) {scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &data[i]);sort(data + 1, data + n + 1);for(int i = 1; i <= n; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + data[i];ll ans = sum[n] * n;for(int i = 1; i <= n - 2; ++ i) {ans = min(ans, sum[i] * i + check(i));// printf("i = %d ans = %d\n", i, ans);}if(n <= 3) ans = sum[n];printf("%lld\n", ans);}return 0;
}