UVALive 7003 A Balance Game on Trees（树形dp）

题目链接：
UVALive 7003 A Balance Game on Trees
题意：
给一个$n$个节点和每个节点的儿子的有根树，根为1，初始时树上每个节点的颜色都为白色，现在要将树上的一些节点的颜色染为黑色使得每个白色节点的周围（直接相连的边的另一端）恰好有$K$个黑色节点，求最多可以保留多少个白色节点？
数据范围：$n\leq 100,K\leq 10$
分析：
每个节点的颜色无非两种：黑色和白色。我们用$black[u]$和$white[u]$表示当$u$分别是黑色和白色时，以$u$为根的子树最多可以保留多少个白色节点。但是由于白色节点的周围有黑色节点的数量限制，所以对于白色的情况再加一维：$white[u][i]$当u为白色节点且u的周围有$i$个黑色节点时的最优解。

从根节点$1$开始$dfs$:

• $black[u]$的状态转移：
  对于$u$的每一个儿子$v$，如果$v$的儿子数量大于等于$K-1$，那么如果选择$v$的颜色为白色（记此时的答案为$son$），可以得到的最优解是：$son=white[v][K-1]+1$，否则$v$节点就不能染为白色（因为$v$节点的周围不能凑够$K$个黑色节点），也就是$son=0$。
  

  $$black[u]+=max(black[v],son)$$

• $white[u][]$的状态转移：
  这时对于$u$从它的每个儿子$v$的状态转移只能$v$是黑色或者$white[v][K]$。
  考虑$white[u][i]$的情况，这里需要$u$的所有儿子中有$i$个是黑色，其余的是白色。如何求这个最优解呢？如果暴力枚举的话，最坏的时间复杂度是：$O(2^n)$！o(╯□╰)o
  我们先把所有儿子全是白色的情况相加记为$sum$：
  

  $$sum=\sum{white[v][K]}$$
  再把每个儿子选择黑色和白色的最优解差值记为$diff[]$：
  $$diff[i]=black[v] - white[v][K]$$
  因为必须有$i$个儿子是黑色，那么我们选择的这$i$个儿子必然是$diff$值最大的前$i$个！详情看代码～

  最坏的时间复杂度是：$O(n^{2}\log n*K)$，实际运行是应远小于这个复杂度。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 110;int T, n, K, sum;
int white[MAX_N][15], black[MAX_N], vis[MAX_N], diff[MAX_N];
vector<int> vec[MAX_N];void dfs_son(int u, int p)
{int size = vec[u].size();for (int i = 0; i < size; ++i) {int v = vec[u][i];dfs_son(v, u);}sum = 0;for (int i = 0; i < size; ++i) {int v = vec[u][i];int son = 0;if (vec[v].size() >= K - 1) son = white[v][K - 1] + 1;black[u] += max(son, black[v]);son = white[v][K];sum += son;diff[i] = black[v] - son;}sort(diff, diff + size);for (int i = 1; i <= K; ++i) {if (i > size) break;white[u][i] = sum;for (int j = size - 1; j >= size - i; --j) {white[u][i] += diff[j];}}if (size >= K) white[u][K]++;
}int main()
{scanf("%d", &T);while (T--) {scanf("%d%d", &n, &K);for (int i = 1; i <= n; ++i) { vec[i].clear(); }memset(black, 0, sizeof(black));memset(white, 0, sizeof(white));getchar();for (int i = 1, j; i <= n; ++i) {while (1) {scanf("%d", &j);if (j == 0) break;vec[i].push_back(j);if (getchar() == '\n') break;}}dfs_son(1, 0);printf("%d\n", max(black[1], white[1][K]));}return 0;
}