mathematical induction

• definition : suppose the statement to be proved can be put in the form
  $$\forall n \geqslant n_0 P(n)$$
  where $n_0$ is some fixed integer,that is , suppose we wish to show that P(n) is true for all the integers not less than $n_0$ .

• methos:

  1.suppose that P(n₀) is true.
  2.if P(k) is true for some k not less than $n_0$ ,P(k) is also true.
  3.so P(n) is true for all n $\geqslant n_0$

• strong induction
  a slighty different form of mathematical induction is easier to use in some proofs , in the strong form of matematical induction,the induction step is to show that
  $P(n_0) \bigwedge P(n_0 + 1) \bigwedge....P(k) \Longrightarrow P(k + 1)$
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  佩亚诺公理

  1. 是自然数；
  2. 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a’ ，a’ 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；
  3. 对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数；
  4. 1不是任何自然数的后继数；
  5. 任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n’ 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理保证了数学归纳法的正确性）.

重要性：皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统.根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统.
感应公理

$$\forall P [P(n_0) \bigwedge (\forall n \geqslant n_0 P(n) \Rightarrow) P(n+ 1)] \Rightarrow \forall n \geqslant n_0 P(n)$$