002-深度学习数学基础(神经网络、梯度下降、损失函数)
这里在进入人工智能的讲解之前,你必须知道几个名词,其实也就是要简单了解一下人工智能的数学基础,不然就真的没办法往下讲了。
本节目录如下:
- 前言。
- 监督学习与无监督学习。
- 神经网络。
- 损失函数。
- 梯度下降。
0. 前言
人工智能可以归结于一句话:针对特定的任务,找出合适的数学表达式,然后一直优化表达式,直到这个表达式可以用来预测未来。
接下来就来一句一句的分析这句话:
- 针对特定的任务:
首先我们需要知道的是,人工智能其实就是为了让计算机看起来像人一样智能,为什么这么说呢?举一个人工智能的例子:
我们人看到一个动物的图片,就可以立刻知道这个动物是猫,还是狗。但是计算机却不可以,如果计算机可以分出类别,那么这就会是一个具有图像分类功能的人工智能小例子。
这里的图像分类
就是我们所说的特定任务,这就是我们希望写出一个人工智能的程序来做的事情。
还有一些其他的常见的任务:人脸识别
,目标检测
,图像分割
,自然语言处理
等等。
- 找出合适的数学表达式:
学过高等数学并且有计算机思维的人都知道,世界中几乎所有的事情都可以用数学函数来表达出来,我们先不管这个数学表达式是离散还是连续,也不管他的次数多高,反正他能达到表示特定任务的一种目的。
比如说,针对一个西瓜质量好坏的预测任务,可以设出以下的表达式:
f(x)=a?x1+b?x22+c?x33+df(x) = a*x_{1} + b*x_{2}^{2} + c*x_{3}^{3} + d f(x)=a?x1?+b?x22?+c?x33?+d
解释如下:
1、x1,x2,x3x1,x2,x3x1,x2,x3 可以看作判断西瓜好坏的判断依据,比如可以是:瓜皮纹路,敲击声音,瓜皮颜色等等。
2、a,b,c,da,b,c,da,b,c,d 就是这个表达式的系数,一旦数学表达式定下来了,那么接下来需要做的事情就是找出合适的系数,使得这个表达式可以很好的判断出西瓜质量的好坏。
所以,针对上文提到的特定任务,都可以用数学表达式表示出来,当然,我们会尽可能找简单、高效的表达式。
- 一直优化这个表达式:
上边引出表达式之后,会发现当表达式确定下来之后,就要寻找合适的系数了,寻找系数的过程就被称之为训练网络的过程。
我们优化表达式的重要思想是:一直调整系数值,使得预测出的数据 与 真实数据之间的差距尽可能的最小。
比如:假设预测的数据是 f1(x)f_{1}(x)f1?(x),真实数据是yyy,我们通过一直改变系数的值,来找出可以使得预测数据与真实数据之间距离最小的一组,最小的一组数据就是我们需要的系数。
其中,距离计算公式可以是如下的表达式:
loss=(f1(x)?y)2loss = \sqrt{(f_{1}(x) - y )^2 } loss=(f1?(x)?y)2?
通过这个表达式,得到的 loss
值就是真实值与预测值之间的距离。
然后,接下来的优化就是针对这个loss
表达式来进行的,目的就是让loss
的值达到最小。
因为loss
值达到最小的时候,就意味着我们的预测值与真实值距离很相近,预测越准确。
这里值得一提的是,这里的
loss
表达式的优化过程,其实就是将loss
公式对函数f(x)
的系数求导。所以当
loss
最小的时候,就意味着此时的系数最合适。具体的细节往下看。
- 用优化好的表达式预测未来:
经过上边的优化,此时函数会得到一个相对好一点的系数,然后就可以使用这个函数来预测未来的事情了。
这就是达到了人工只能的目的了。
所以,下边我们就要仔细讨论,数学表达式的构建,距离函数的构建,距离的优化。
1. 神经网络
神经网络的英文是:neural network (简称:NN)。
神经网络其实就是变形的数学表达式,它通过拼装基础组件(神经元)来模拟出数学表达式。
1.01. 什么是神经网络
一说神经网络,大家首先想到的就是神经元,其实没错,神经网络这个名词就是从神经元这里演变过来的。所以我们做一下类比。
1.01.001. 神经元
如图所示,这个图就是我们人体的神经元的放大图。
通常我们身体的 A
部位发出的命令,要指挥 B
部位响应,就要通过 A
向 B
发出信号。这个信号的强弱影响着 B
反应的强弱。
所以,这就是神经网络的构思所在:
构建出一个类似于神经元的结构,上一个节点的输入(A处的控制) 以及权重(信号的强弱)共同决定下一个节点的输出(B处的反应)。
这句话,现在看不懂没关系,有个印象就好,继续往下看吧。
1.01.002. 神经网络
如图所示就是一个最简单的神经网络结构,这个结构的数学表达式是:Y=X1?W1+X2?W2Y = X1*W1 + X2*W2Y=X1?W1+X2?W2 。
图中的圆圈我们就把他类比于神经元,图中的各个结构解释如下:
-
其中
X1,X2
就是这个神经网络的输入,他相当于就是人体大脑发出的控制命令。 -
W1,W2
就是权重,他是用来控制不同输入信号占比大小的数据,比如:想让控制X1
作用明显一点,那么对应的W1
就大一点。 -
Y
就是输出,他就是输入数据与权重作用之后的最终结果,在神经元中也就是最终对身体某个部位的控制信号。
1.02. 神经网络的数学原理
神经网络的数学原理非常简单,简单总结下来就是一句话:不同的输入作用于各自的权重之后的和即为我们需要的结果。
其实就可以大致理解为我们的函数 : f(x)=a?x1+b?x2f(x) = a*x1 + b*x2f(x)=a?x1+b?x2 一样,所谓的权重就是我们方程的系数。
细心的人观察上边的公式就会发现,一个神经元节点就可以归结于一个运算式子。所以我们这里就来针对上图,分析分析含有一个神经元节点的公式。
从图中可以看得出来,最终的输出结果 Y
是由 输入(X)
以及 权重(W)
共同决定的。
他们最终的计算结果 Y
其实说白了就是一个计算公式:Y=X1?W1+X2?W2Y = X1*W1 + X2*W2Y=X1?W1+X2?W2 ,这个公式的含义大家应该都明白,给不同的输入 分配不同的权重 ,从而得到想要的结果。
这就是神经网络中一个神经元的数学原理,当把神经元的个数增多之后,原理以此类推,只不过是要增加权重W
以及输入X
的个数而已。
下边就可以看作是一个,含有两层的神经网络结构。
-
第一层节点:
11
,12
,13
。第二层节点:21
。 -
输入:
X1
,X2
。 输出 :Y
。
于是,根据公式:输出 等于 输入作用于 权重, 得出以下推导 :
-
输入:
X1
,X2
。 -
节点
11
的值: Y11=X1?W1?1+X2?W2?1Y_{11} = X_{1} * W_{1-1} + X_{2}*W_{2-1}Y11?=X1??W1?1?+X2??W2?1? . -
节点
12
的值: Y12=X1?W1?2+X2?W2?2Y_{12} = X_{1} * W_{1-2} + X_{2}*W_{2-2}Y12?=X1??W1?2?+X2??W2?2? . -
节点
13
的值: Y13=X1?W1?3+X2?W2?3Y_{13} = X_{1} * W_{1-3} + X_{2}*W_{2-3}Y13?=X1??W1?3?+X2??W2?3? . -
节点
21
的值就是最终输出Y
: Y=Y21=Y11?W3?1+Y12?W3?2+Y13?W3?3Y = Y_{21} = Y_{11} * W_{3-1} + Y_{12}*W_{3-2} + Y_{13}*W_{3-3}Y=Y21?=Y11??W3?1?+Y12??W3?2?+Y13??W3?3? .
所以,最终的整合式子为:
Y=Y11?W3?1+Y12?W3?2+Y13?W3?3=(X1?W1?1+X2?W2?1)?W3?1+(X1?W1?2+X2?W2?2)?W3?2+(X1?W1?3+X2?W2?3)?W3?3Y = Y_{11} * W_{3-1} + Y_{12}*W_{3-2} + Y_{13}*W_{3-3} \\ = (X_{1} * W_{1-1} + X_{2}*W_{2-1})*W_{3-1} \\ + (X_{1} * W_{1-2} + X_{2}*W_{2-2})*W_{3-2} \\+ (X_{1} * W_{1-3} + X_{2}*W_{2-3})*W_{3-3} Y=Y11??W3?1?+Y12??W3?2?+Y13??W3?3?=(X1??W1?1?+X2??W2?1?)?W3?1?+(X1??W1?2?+X2??W2?2?)?W3?2?+(X1??W1?3?+X2??W2?3?)?W3?3?
于是,我们可以发现,类似于这样的堆叠方式,我们可以组合成很多的数学函数。
这就是神经网络,他的目的在于将数学公式堆砌出来,至于为什么要这样堆砌,是因为这样堆砌计算机计算比较方便呗。
1.03 总结
到目前为止你已经知道了神经网络的由来,并且知道神经网络与数学公式之间的关系。
此时你需要明确的知识点是:
- 人工智能就是使用已有的数据,拟合出一个可以用来预测未来的公式。
- 这个公式的系数需要一直调整,从而找出一组最为合适,正确率较高的系数。
- 因为系数的寻找需要大量的计算,所以需要将这个公式用神经网络表示出来的,因为在计算机中这样表示的时候计算最为方便。
2. 监督学习与无监督学习
这个知识点比较简单,就一些单纯的概念。
监督学习:就是我们收集到的数据是有标签的。
就是说,我们收集到的数据是已经分好类的。
比如说:当前当前有一批样本数据,
x1, x2, x6, x9, x13
属于类别y1
类。x3, x4, x5, x8, x11
属于类别y2
类。x7, x10, x12
属于类别y3
类。
然后接下来我们使用这些数据的时候,就可以使用已有标签的数据,去拟合出曲线,用以预测未来。
无监督学习:我们收集到的数据是无标签的。
就是说,收集到的数据并没有固定的类别,我们需要做的事情就是挖掘数据内部的联系,给他们聚类,找出类别。
如图所示,挖掘出数据内部的联系,让他自动归类。
3. 损失函数
上边解释过了,损失函数的作用就是计算 真实值 与 预测值 之间距离的 (距离其实可以简单理解为两个数据之间的差距)。
这里介绍一些常见的几种损失函数,以供大家入门使用。
3.01. 一些前提
这里给定一些大前提,下边的几种损失函数通用的那种。
- 真实值:
y
,他就是针对某一组输入x
的真实标签。 - 预测值:
f(x)
,他就是针对输入x
的预测标签。 - 样本数:
m
,他就是我们每次输入多少样本进行计算,比如:某一次输入5
组x
,得到5
个预测结果,这里的m=5
.
3.02. 绝对值损失函数
其实就是简单的计算 真实值 与 预测值 之间的绝对值距离而已。
公式:
J(y,f(x))=J(w,b)=1m∑i=1m∣yi?f(xi)∣J(y,f(x)) = J(w,b) = \frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}|y_{i}-f(x_{i})| J(y,f(x))=J(w,b)=m1?i=1∑m?∣yi??f(xi?)∣
解释:
- J(y,f(x))J(y,f(x))J(y,f(x)) 的意思就是,这个损失函数的参数是:真是标签
y
与 预测数据f(x)
。 - J(w,b)J(w,b)J(w,b) 的意思是,这个损失函数的目的是优化参数
w
与b
。这里的w
,b
其实就是系数的矩阵形式。 - 后边具体的计算公式就是:输入有
m
个样本,计算出这m
个样本的距离绝对值和,然后再求均值。
3.03 均方差损失函数
就是将上边式子的绝对值换成平方就好了。
公式:
J(y,f(x))=J(w,b)=12m∑i=1m(yi?f(xi))2J(y,f(x)) = J(w,b) = \frac{1}{2m}\sum^{m}_{i=1}(y_{i}-f(x_{i}))^2 J(y,f(x))=J(w,b)=2m1?i=1∑m?(yi??f(xi?))2
解释:
- 这里只是将绝对值换成了平方,除以
m
换成了除以2m
。
3.04 交叉熵损失函数
这个就比较麻烦了,交叉熵损失函数一般用于解决分类问题。
标签:
在通常的分类问题中,标签y
的取值一般只有 0
或 1
。
1 表示是当前类别, 0 表示不是当前类别。
公式:
J(y,f(x))=J(w,b)=?1m∑i=1m(f(x)?log(y)+(1?f(x))?log(1?y))J(y,f(x)) = J(w,b) = -\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}(\ f(x)*log(y) + (1-f(x))*log(1-y)\ ) J(y,f(x))=J(w,b)=?m1?i=1∑m?( f(x)?log(y)+(1?f(x))?log(1?y) )
解释:
- 上边说了,
y
与f(x)
都只能取1
与0
中的一种可能性。所以,上述公式的效果就是: - 如果 y与 f(x) 相同,则 J = 0.
你带入 y=1 , f(x)=1 试试就知道了。
- 如果 y与 f(x) 不同,则 J = 无穷大.
你带入 y=1 , f(x)=0 试试就知道了。
3.05 总结
到这里你已经学习了三种常见的损失函数。
此时你应该有一个明确的知识点就是:
- 损失函数是用来计算真实值与预测值之间距离的。
- 当损失函数的值越小就代表着真实值与预测值之间的距离就越小,也就意味着预测的越准。
4. 梯度下降
好了好了,上边过完理论知识,这里来一个真真正正的数学内容了,其实不难,看我慢慢分析。
- 上边我们提到对数学函数优化的时候,只是介绍了理论的知识。
我们知道了损失函数就是衡量预测值与真实值之间距离的公式。
并且知道,损失函数的值越小,真实值和预测值之间的距离越小,也即:预测的越准。
- 但是并没有带着大家深入探究如何优化。
也就是没有告诉大家怎么使得损失函数的值越来越小。
其实,这里使用的数学知识就是 :求偏导
4.01. 数学例子
这里以一个简单的数学例子来引入梯度下降的内容。
- 场景引入
在数学课中我们经常做的一个题型就是:已知一个函数
f(x)
的表达式,如何求出这个式子的最小值点。
在数学题中我们经常用的方法就是:将函数f(x)
对x
求导,然后令导数式子为0
,求出此时的x
的值,即为最小值点的位置。
- 具体例子
求函数 f(x)=2?x2?12?x+20f(x) = 2*x^2-12*x+20f(x)=2?x2?12?x+20 的最小值点,并且求出最小值。
对函数求导
f(x)′=4?x?12f(x)' = 4*x - 12 f(x)′=4?x?12
令导函数为0,求出此时的x
令f(x)′=0即4?x?12=0得到x=3令 \ \ f(x)'=0 \\ 即 \ 4*x-12 = 0 \\ 得到\ x=3 令 f(x)′=0即 4?x?12=0得到 x=3
此时,x = 3
即为函数 f(x)
的最小值点,带入原方程 f(3)= 2*9-12*3+20 = 2
.
这个解题过程,想必大家都很熟悉吧。
下边就分析一下这个过程的数学原理了
4.02. 数学例子原理
梯度就是导数。
针对上边提到的方程的最小值求解,其实就是求出其梯度(导数)为0
的位置,就是其最低点的位置。具体看下图:
- 方程 f(x)=2?x2?12?x+20f(x) = 2*x^2-12*x+20f(x)=2?x2?12?x+20 图像如下:
从图中可以看出,方程在不同位置的导数方向是不同的,只有在最低点的位置,导数为
0
,所以可以用导数为0
的位置求出最低点。
上边举的例子是一个比较简单的例子,方程中只有一个未知数,但是在真实情况中,往往一个方程有很多未知数。
- 比如:f(x,y)=2?x2+2?y+4?x?yf(x,y)=2*x^2+2*y+4*x*yf(x,y)=2?x2+2?y+4?x?y
此时需要做的事情就是针对每一个变量求偏导,求出该方程针对每个变量的梯度方向 (梯度方向就是数据变小的方向)。
于是,在方程的每个点上,都有多个梯度方向,最终将这多个方向合并,形成这个点的最终梯度方向 (数据变小的方向)
如图,方程有两个变量
x
,y
,于是在A点针对两个变量求偏导就可以得到各自的梯度方向(两个红色箭头的方向)。然后,将两个梯度进行合并,得到最终的梯度方向
Z
。Z方向就是方程在A点数据变小的方向了。
4.03. 完整例子
上边讲完原理,这里就举出一个例子,带着大家走一遍梯度下降找最小值的过程。
假设此时的方程已知,并且根据方程绘制出的图像如下。
- 刚开始我们位于A点:
1、在A点处针对方程的各个变量求出偏导,于是便可以得到方程针对各个方向的梯度方向。
2、将A点处各个方向的梯度方向进行合并,形成最终的梯度方向。
3、最终的梯度方向就是AB方向。
4、于是向着AB方向走出一段距离,走到了B点。
- 到达B点: (思路同上)
1、求出B点处各个方向的梯度方向,然后合并所有梯度方向,得到最终的B点处梯度方向 BC。
2、于是沿着BC方向,走出一段距离,到达C点。
- …重复上述过程:
到达某个点之后,求出各方向的偏导数,然后合并得到最终的梯度方向。
然后沿着合并后的梯度方向走出一段距离到达下一个点。
然后在一直重复…
- 到达K点:
K点就是最终的点,这就是优化得到的最重点。
这就是整个找最小点的可视化过程,但是其中提到更新的数学细节并没有提到,所以下边提一下用到的数学更新公式吧
4.04. 更新公式
一般我们梯度下降更新的数据只有函数的系数,然后函数的系数可以分为两类:权重(W)+偏差(b)
所以,更新的时候也就针对这两个参数就好了。
变量定义:
W
: 方程的权重。 (可以简单理解为方程变量前面的系数)b
:方程的偏差。 (可以简单理解为方程中的常数)
比如:f(x,y)=2?x2+y2+3f(x,y) = 2*x^2+y^2+3f(x,y)=2?x2+y2+3 中,
2 , 1
就是权重,3
就是偏差。
公式:
- 更新权重
W
:Wnew=Wold?α??L?wW_{new} = W_{old} - \alpha *\frac{\partial L}{\partial w}Wnew?=Wold??α??w?L?.
原始点的权重是 WoldW_{old}Wold?,原始点此时针对
W
的梯度方向是?L?w\frac{\partial L}{\partial w}?w?L?.α\alphaα 就是一段距离长度(它就是我们上文一直提到的走一段距离)。
所以 α??L?w\alpha *\frac{\partial L}{\partial w}α??w?L? 表达的含义就是沿着
W
的梯度走一段长度为α\alphaα 的距离。然后 新的
W
就是 旧的W
减去那一段方向长度。
- 更新偏差:bnew=bold?α??L?bb_{new} = b_{old} - \alpha *\frac{\partial L}{\partial b}bnew?=bold??α??b?L?.
原理同
W
.
这就是更新参数的整个梯度下降过程了。
5. 总结
到目前为止,基础的人工智能知识已经基本讲完了,这个时候我们再来仔细品味这句话。
针对特定的任务,找出合适的数学表达式,然后一直优化表达式,直到这个表达式可以用来预测未来。
或许你就会有不一样的体会了。
ok,下一节就讲一讲Pytorch的基础使用,然后就是最终的手写体数字识别任务了。