Asset Pricing：State Price and Risk-Neutral Probability

Asset Pricing：State Price and Risk-Neutral Probability

State Price

完备市场下：$q_s=q(e_s)$

$z={\sum }_{s=1}^S{z}_s{e}_s,q(z)={\sum }_{s=1}^S{z}_{s}q(e_s)=q?z$

不完备市场下：
$$q_s\equiv Q(e_s)$$
If $Q\ge 0,q_s\ge 0$ ; if $Q>0,q_s>0$

对每个未定权益 $z\in R^S,z={\sum }_s{z}_s{e}_s$，所以有：
$$Q(z)=Q(\sum _s{z}_s{e}_s)=\sum _s{z}_{s}Q(e_s)=\sum _s{z}_s{q}_s=q?z$$
因为 $Q(x_j)=p_j$，所以有：
$$\begin{gathered} p_j=q{x}_j \\ p=Xq \end{gathered}$$
状态价格是含 $S$ 个未知量 $q_s$ 的 $J$ 个方程组的解。

if market is complete , $J\ge S,rank(X)=S\to ?$ 唯一的 $q>>0$?

if market is incomplete , $rank(X)<S$ , multiple $q>>0$ is possible.

Theorem : $p=Xq$??? has solution q>>0 iff $?Q(z)>0$??? ; $?q>>0,?Q>0,s.t.?z\in R^S,Q(z)=qz$

proof：上述等式已经证明，与严格为正的估值泛函相关的状态价格是等式 $p=Xq$ 的一个解。下面说明估值泛函的存在性。

suppose $q>>0$? 是 $p=Xq$? 的解，then $Q(z)=q?z$? is linear and strictly positive. Let $z\in M,?h,z=hX,Q(z)=qz=q?h?X=h?X?q=ph=q(z)$? , 即 $Q$ 与 $M$ 上的收益定价泛函一致 .So $Q(z)$? is strcitly positive valuation functional.

Fundamental Theorem of Finance : NA iff $?q>>0$ , NSA iff $?q>0$

Example:

$x_1=(1,1,1),p_1=1/2;x_2=(1,2,4),p_2=1$ . Does Market exclude Arbitrage?

$\to q_1+q_2+q_3=1/2,q_1+2q_2+4q_3=1\to q_1=2q_3,q_2=1/2?3q_3$

$q_3>0,2q_3>0,1/2?3q_3>0\to 0<q_3<1/6$??。此时NA。

$0\le q_3\le 1/6$，此时NSA。

Farkas-Stiemke Cemma :

suppose $y,a\in R^m,b\in R^n,Y\in R^{m\times n}$

Theorem ( Farkas ): 不存在 $a\in R^m$，满足 $aY\ge 0,ay<0$ 的充要条件是当且仅当 $?b\in R^n,s.t.y=Yb,b\ge 0$

Theorem ( Stiemke ): 不存在 $a\in R^m$?，满足 $aY\ge 0,ay\le 0$?，其中或者 $aY>0$?，或者 $ay<0$? 的充要条件是当且仅当 $?b\in R^n,s.t.y=Yb,b>0$??

状态价格和取值的界

对于未定权益 $z\in R^S,z\in /M$：
q l ( z ) = max ? h { p h : z ≥ h X } q u ( z ) = min ? h { p h : z ≤ h X } π ∈ [ q l ( u ) , q u ( z ) ] , Q ( z ) = q ( z ) + λ π q_l(z)=\max_h\{ph:z\geq hX\}\\q_u(z)=\min_h\{ph:z\leq hX\}\\\pi\in[q_l(u),q_u(z)],Q(z)=q(z)+\lambda\pi ql?(z)=hmax?{ ph:z≥hX}qu?(z)=hmin?{ ph:z≤hX}π∈[ql?(u),qu?(z)],Q(z)=q(z)+λπ
$p=Xq,ph=Xqh=qz$：
q l ( z ) = min ? q > 0 { q z : p = X q } q u ( z ) = max ? q > 0 { q z : p = X q } q_l(z)=\min_{q>0}\{qz:p=Xq\}\\q_u(z)=\max_{q>0}\{qz:p=Xq\} ql?(z)=q>0min?{ qz:p=Xq}qu?(z)=q>0max?{ qz:p=Xq}
Risk-Neutral Probability

Risk-Free Asset : $X=(1,1,?,1)$

Risk-Free return：$\bar{r}=\frac{1}{P_b}=\frac{1}{{\sum }_{s=1}^S{q}_s{x}_s}=\frac{1}{{\sum }_{s=1}^S{q}_s}$

假设证券价格无套利（强套利），具有严格正回报无风险收益 $\bar{r}$ 属于资产张成空间。令 $q$ 是严格为正（为正）的状态价格向量，对每个 $s$，定义：
$$\begin{gathered} {\hat{\pi }}_s\equiv \bar{r}{q}_s=\frac{q_s}{{\sum }_{s=1}^S{q}_s}\in (0,1) \\ \sum _{s=1}^S{\hat{\pi }}_s=1 \end{gathered}$$
${\hat{\pi }}_s\to$? risk-neutral probability
$$\begin{gathered} p_j=\sum _{s=1}^S{q}_s{x}_s^j=\sum _{s=1}^S{q}_s\sum _{s=1}^S\frac{q_s}{{\sum }_{s=1}^S{q}_s}{x}_s^j \\ =\frac{1}{\bar{r}}\sum _{s=1}^S\frac{q_s}{{\sum }_{s=1}^S{q}_s}{x}_s^j=\frac{1}{\bar{r}}\sum _{s=1}^S{\hat{\pi }}_s{x}_s^j=\frac{1}{\bar{r}}{E}^{?}(x^j) \\ \bar{r}=E^{?}(r_j) \\ Q(z)=qz=\sum _s{q}_s{z}_s=\frac{1}{\bar{r}}\sum _s{\hat{\pi }}_s{z}_s=\frac{1}{\bar{r}}{E}^{?}(z) \end{gathered}$$
可以将未定权益取值的上界和下界表示为：
$$\begin{gathered} q_u(z)=\frac{1}{\bar{r}}\underset{\hat{\pi }}{\max }{E}^{?}(z) \\ {q}_l(z)=\frac{1}{\bar{r}}\underset{\hat{\pi }}{\min }{E}^{?}(z) \end{gathered}$$