CFD解决一维标量问题（迎风、Lax-Wendroff、TVD、WENO5+3阶Runge-Kutta）

手写朴素小代码，有错也不要给我指出。

一、问题描述

二、数值方法

2.1 一阶迎风格式

2.2 Lax-Wendroff 格式

2.3 TVD 格式

2.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法

三、程序设计框图(MATLAB)

3.1 一阶迎风格式(关键程序见附录)

3.2 Lax-Wendroff 格式(关键程序见附录)

3.3 TVD 格式(关键程序见附录)

3.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法(关键程序见附录)

四、计算结果分析

4.1 一阶迎风格式

4.2 Lax-Wendroff 格式

4.3 TVD 格式 TVD 格式

4.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法

五、总结

一阶迎风格式：

Lax-Wendroff 格式：

TVD 格式：

WENO 格式：

一、问题描述

二、数值方法

2.1 一阶迎风格式

2.2 Lax-Wendroff 格式

2.3 TVD 格式

根据反扩散思路，将Lax-Wendroff格式改写为：

2.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法

三、程序设计框图(MATLAB)

3.1 一阶迎风格式(关键程序见附录)

3.2 Lax-Wendroff 格式(关键程序见附录)

3.3 TVD 格式(关键程序见附录)

3.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法(关键程序见附录)

四、计算结果分析

4.1 一阶迎风格式

一阶迎风格式结果如图 1 所示：

对计算结果进行分析，一阶迎风格式具有一阶阶段误差，在空间和时间上由一阶精度，无论在任何计算条件下都不会引起解的振荡，是绝对稳定的。但是当网格数较大时，假扩散严重，为避免此问题，常需要加密网格。同时当存在较大梯度时一阶迎风格式会给解带来严重的数值扩散。

4.2 Lax-Wendroff 格式

Lax-Wendroff 格式结果如图 2 所示：

Lax-Wendroff 格式引入了人工粘性，通过添加粘性项可以使时间项达到二阶精度。不但克服了不稳定性，而且抵消了时间误差，提高了时间精度。根据结果分析，Lax-Wendroff 方法相比迎风格式求解的结果耗散性要小得多，但是在不连续处的上游会产生震荡，在下游震荡不明显。

4.3 TVD 格式 TVD 格式

结果如图 3 所示：

对 TVD 格式求解结果进行分析，在 TVD 格式中，通过引入与解的性质有关的限制因子 Limner，使计算格式既具有较高的离散精度同时又避免解的高频振荡。TVD 格式引起够造的机制可限制间断附近的震荡，但是有较大的数值耗散。

4.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法

结果如图 4 所示：

由结果可以得知，对问题求解空间上使用具有五阶精度的 WENO 格式，时间上使用三阶 Runge-Kutta 格式，可以使计算保持较高的精度，而且 WENO 格式为加权本质无震荡格式，所以间断处不存在震荡。

五、总结

一阶迎风格式：

守恒性：迎风格式在边界面是直接取上游节点的值，虽然上游的定义取决于流动方向，但其计算的通量是一致的。所以迎风格式是满足守恒性的。

有界性：迎风格式满足 Scarborough 的有界性判定准则，离散后得到的系数矩阵是对角占优的，因此其数值结果不会出现像中心差分格式那样的“振荡”现象。但是当网格数较大时，假扩散严重，为避免此问题，常需要加密网格。

运输性：很明显，迎风格式考虑了流动的方向性，所以是具有输运性的。

计算精度：迎风格式是一个基于向后差分的基本迎风格式，根据泰勒级数误差分析可知，它只有一阶精度。因此，在正式计算时，一阶迎风格式目前常被二阶迎风格式或其他高阶格式所代替。

Lax-Wendroff 格式：

这个格式对时间项采用一阶向前差分，对空间项采用二阶中心差分。如果在方程右边加上一项粘性项，使其和这个时间项产生的误差相抵，那么就满足稳定性条件了。Lax-Wendroff 格式时间项和空间项都是二阶精度,不但克服了不稳定性，而且抵消了时间误差，提高了时间精度。

TVD 格式：

对于 TVD 格式分析可知，任何单调格式都是 TVD 格式，任何 TVD 格式都是保单调格式。而由于任何线性的保单调格式必为单调格式，而单调格式只有一阶精度，因此高精度的 TVD 格式就只能是非线性的保单调格式。所以对于 TVD 格式而言，下限就是迎风格式，具有最少的格式粘性。本题中应用的 Lax-Wendroff 格式不是 TVD 格式。对 Lax-Wendroff 格式引入限制器函数?(?)后，只有当0 ≤ ?(?) ≤ 2,0 ≤ ?(?) ? ≤ 2时，格式才具有 TVD 性质。同时当?(?) = 0时，格式就是一阶迎风格式， ?(?) = 1 时，格式就是 Lax-Wendroff 格式。想要构造出二阶 TVD 格式就需要使 ? ≤ ?(?) ≤ 1。其中限制器函数?(?) ≥ 0，是为了保证反扩散项一定是负的，若为正值，就会变成格式粘性。

WENO 格式：

WENO 格式的基本思想是将 ENO 格式中只用一个最光滑的插值区域来提供网格截面处数值通量的近似值的做法改成将每一个可能的插值区域提供的网格界面处数值通量做加权平均。具体的说对每一个可能的插值区赋予一个权重，它决定了该插值区域对最终的网格界面处的数值通量的贡献，在光滑区域内，它们趋向于某种最佳的权重以达到更高阶的精度，而在间断附近的区域内，那些被包含间断的插值区域被赋予几乎为零的权重。从而获得了基本无震荡特性，并且在离开间断区域内具有更高的精度。

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